Untergruppen d. eig. h-Bew.Gr. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:43 Mo 12.09.2005 | | Autor: | lala_hd |
hi ihr...
bin total verzweifelt. rechne nun schon ne weile an dieser aufgabe von meinem geometrie-übungsblatt rum, aber irgendwie bleibe ich an der einen stelle immer wieder hängen. wäre lieb, wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
(hoffe mal die länge schreckt euch net allzu sehr ab  )
danke
[mm] \left(la\right)^2
[/mm]
--------------------------------------------
THEMA: UNTERGRUPPEN DER EIGENTLICHEN H-BEWEGUNGSGRUPPE
hier kommt erstmal eine vorbemerkung, die aufgabenstellung und dann mein ansatz:
[mm] \underline{Vorbemerkungen:}
[/mm]
Es seien: [mm] {\mathit{f}_A} [/mm] = [mm] \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z+\delta} [/mm] die gebrochen lineare Abbildung zu der Matrix [mm] \mathit{A=}\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \in{GL\left(2,\mathbb{R} \right)} [/mm]
[mm] \mathbb{H} [/mm] sei die obere Halbebene
[mm] \hat{\mathbb{R}} \mathit{:=\mathbb{R} \cup{\{ \infty \}}}
[/mm]
In der eigentlichen h-Bewegungsgruppe [mm] \Gamma [/mm] := PGL [mm] \left( 2, \mathbb{R} \right) [/mm] hat man folgende Untergruppen:
(1) [mm] \Gamma_\mathit{a} [/mm] Gruppe der h-Drehungen um den Punkt [mm] \mathit{a}, [/mm] die zu [mm] S^1 [/mm] isomorph ist.
(2) [mm] \Gamma_\mathit{a,b} [/mm] die Gruppe von h-Translationen entlang h-Geraden mit den unendlich fernen Punkten [mm] \mathit{a,b} \in {\hat {\mathbb{R}}}, [/mm] die zu [mm] \left({\mathbb{R}, +}\right) [/mm] isomorph ist.
(3) [mm] G_\mathit{a} [/mm] die Gruppe der Grenzdrehungen um ein [mm] \mathit{a} \in {\hat {\mathbb {R}}}, [/mm] die zu [mm] \left({\mathbb{R}, +}\right) [/mm] isomorph ist.
Diese 3 Typen von Untergruppen der Bewegungsgruppe [mm] \Gamma [/mm] lassen sich mit Fixpunkteigenschaften erklären. Bei jedem Typ (1)-(3) erweisen sie sich als konjugierte Untergruppen von [mm] \Gamma.
[/mm]
[mm] \underline{Aufgabenstellung:}
[/mm]
Sei [mm] \Gamma_\mathit{a} [/mm] die Gruppe der eigentlichen h-Bewegungen, die [mm] \mathit{a} \in{\mathbb{H}} [/mm] fest lässt. Man zeige, dass [mm] \Gamma_i [/mm] zu [mm] \Gamma_\mathit{a} [/mm] konjugiert ist. Man verwende eine eigentliche h-Bewegung [mm] {\mathit{f}_C}, [/mm] die [mm] \mathit{a} [/mm] nach [mm] \mathit{i} [/mm] abbildet und zeige [mm] {\mathit{f}_C} {\Gamma_i} {\mathit{f}_C}^{-1} [/mm] = [mm] \Gamma_\mathit{a}.
[/mm]
[mm] \underline{Vorueberlegung:}
[/mm]
[mm] \Gamma_\mathit{a}=\{ \mathit{f_A \vert A\in{GL \left( 2, \mathbb{R} \right)}} mit \mathit{f_A(a)=a} \}, [/mm] wobei [mm] \mathit{a} \in{\hat{\mathbb{H}}} [/mm] und [mm] \mathit{a=x+iy}.
[/mm]
Da es sich bei [mm] {\mathit{f}_A}=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta} [/mm] um eigentliche h-Bewegungen handelt, die [mm] \mathit{a} [/mm] fest lassen, kann man o.B.d.A. annehmen: [mm] \gamma z+\delta=1. [/mm] Wegen [mm] \mathit{f_A(a)=a} [/mm] und daher [mm] \alpha \mathit{a}+\beta=\mathit{a} [/mm] kann man [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] wie folgt wählen: [mm] \alpha=1 [/mm] und [mm] \beta=0.
[/mm]
--------------
[mm] \red{1. Frage:}
[/mm]
Kann man daraus nun folgern, dass die Matrix A die Einheitsmatrix sein muss, weil bei eigentlichen Bewegungen zusätzlich ja noch gelten muss [mm] \det{A=1} [/mm] ??? Bzw. es handelt sich ja entweder um eine Translation um 0, eine Drehung um 0°/360°/etc. oder um eine Streckung um den Faktor 1, und somit sind [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] doch eindeutig bestimmt, oder???
--------------
[mm] \Gamma_i=\{ \mathit{f_B} \vert A\in{GL \left(2,\mathbb{R}} \right) mit \mathit{f_B(i)=i} \}.
[/mm]
[mm] {\mathit{f_B}(i)}=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}=i
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha i+\beta=i\left( \gamma i+\delta \right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha i+\beta=-\gamma+\delta [/mm] i
[mm] \mathit{Koeffizientenvergleich:}
[/mm]
[mm] \alpha=\delta \land -\beta=\gamma [/mm]
Die Abbildung [mm] \mathit{f_B} [/mm] sieht also folgendermaßen aus:
[mm] {\mathit{f}_B \left(z\right)} [/mm] = [mm] \frac{\alpha z+\beta}{-\beta z+\alpha} [/mm] mit B= [mm] \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{pmatrix} \in{GL \left(2,\mathbb{R} \right)}
[/mm]
[mm] \underline{z.z.: {\mathit{f}_C} {\Gamma_i} {\mathit{f}_C}^{-1} = \Gamma_\mathit{a}} [/mm]
(1) Zunächst muss eine geeignete eigentliche h-Bewegung [mm] \mathit{f_C} [/mm] gefunden werden, die [mm] \mathit{a} [/mm] auf i abbildet.
Sei [mm] \mathit{f_C \left(z\right)}=\frac{\tilde{\alpha} z+\tilde{\beta}}{\tilde{\gamma} z+\tilde{\delta}} [/mm] mit [mm] \mathit{C}=\begin{pmatrix} \tilde{\alpha} & \tilde{\beta} \\ \tilde{\gamma} & \tilde{\delta} \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \exists \mathit{f_C:} \, \mathit{f_C (a)}=\frac{\tilde{\alpha} \mathit{a}+\tilde{\beta}} {\tilde{\gamma} \mathit{a}+\tilde{\delta}}=i [/mm]
[mm] \Rightarrow \tilde{\alpha} \mathit{a}+\tilde{\beta}=i\left(\tilde{\gamma} \mathit{a}+\tilde{\delta} \right)
[/mm]
Wegen [mm] \mathit{a} \in{\mathbb{H}} [/mm] gilt: [mm] \mathit{a=x+iy}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \tilde{\alpha} \left( \mathit{x+iy} \right)+\tilde{\beta}= [/mm] i [mm] \left(\tilde{\gamma} \left( \mathit{x+iy} \right) + \tilde{\delta} \right)
[/mm]
[mm] \Longleftrightarrow \tilde{\alpha} \mathit{x}+\mathit{i} \tilde{\alpha} \mathit{y}+\tilde{\beta}=\mathit{i} \left( \tilde{\gamma} \mathit{x}+\mathit{i} \tilde{\gamma} \mathit{y}+\tilde{\delta} \right)
[/mm]
[mm] \Longleftrightarrow \tilde{\alpha} \mathit{x}+\mathit{i} \tilde{\alpha} \mathit{y}+\tilde{\beta}=\mathit{i} \tilde{\gamma} \mathit{x}-\tilde{\gamma} \mathit{y}+\mathit{i} \tilde{\delta} [/mm]
[mm] \Longleftrightarrow \left( \tilde{\alpha} \mathit{x}+\tilde{\beta} \right)+\mathit{i} \tilde{\alpha} \mathit{y}=-\tilde{\gamma} \mathit{y}+\mathit{i} \left( \tilde{\gamma} \mathit{x}+\tilde{\delta} \right)
[/mm]
[mm] \mathit{Koeffizientenvergleich:}
[/mm]
Setze [mm] \mathit{x}= \operatorname{Re} \mathit{a} [/mm] und [mm] \mathit{y}= \operatorname{Im} \mathit{a}
[/mm]
[mm] \tilde{\alpha} \operatorname{Re} \mathit{a}+\tilde{\beta}= -\tilde{\gamma} \operatorname{Im} \mathit{a} \land \tilde{\alpha} \operatorname{Im} \mathit{a}=\tilde{\gamma} \operatorname{Re} \mathit{a}+\tilde{\delta}
[/mm]
[mm] \Longleftrightarrow \tilde{\beta}=-\tilde{\alpha} \operatorname{Re} \mathit{a}-\tilde{\gamma} \operatorname{Im} \mathit{a} \left( \* \right) \land \tilde{\delta}=\tilde{\alpha} \operatorname{Im} \mathit{a} -\tilde{\gamma} \operatorname{Re} \mathit{a} \left( \* \* \right)
[/mm]
Da es sich um eine eigentliche Bewegung handeln soll, muss gelten:
[mm] \det{C}=\tilde{\alpha} \tilde{\delta} -\tilde{\beta} \tilde{\gamma}=1.
[/mm]
Definiert man nun [mm] \tilde{\beta} [/mm] und [mm] \tilde{\delta} [/mm] wie [mm] \left( \* \right) [/mm] und [mm] \left( \* \* \right), [/mm] dann gilt für die Determinante:
[mm] \det{C}=\tilde{\alpha} \tilde{\delta} -\tilde{\beta} \tilde{\gamma}=\left( \left(\tilde{\alpha} \right)^2 + \left(\tilde{\gamma} \right)^2 \right) \operatorname{Im} \mathit{a}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] C [mm] \in{GL \left( 2, \mathbb{R} \right)}
[/mm]
Weil [mm] \det{C=1}, [/mm] existiert ebenfalls [mm] C^{-1}=\begin{pmatrix} \tilde{\delta} & -\tilde{\gamma} \\ -\tilde{\beta} & \tilde{\alpha} \end{pmatrix}
[/mm]
(2) Im nächsten Schritt nutze ich
a) zum einen die Definition von konjugiert aus:
Sei U eine Untergruppe einer Gruppe G und [mm] \mathit{g} \in{G}. [/mm] Sei [mm] \mathit{U=gUg^{-1}}=\{ gug^{-1}\vert u\in{U} \}. [/mm] Leicht sieht man: Für alle [mm] \mathit{g}\in{G} [/mm] ist [mm] \mathit{U=gUg^{-1}} [/mm] eine zu U konjugierte Untergruppe von G. (
) [vgl. Rosebrock: Geometrische Gruppentheorie]
b) zum anderen dass [mm] \mathit{f_A f_B}=\mathit{f_{AB}} [/mm] sowie [mm] \mathit{{f_A}^{-1}=f_A{-1}}
[/mm]
Seien [mm] \mathit{f_A}\in{\Gamma_\mathit{a}} [/mm] und [mm] \mathit{f_B}\in{\Gamma_i} [/mm] .
Dann muss laut Defintion gelten:
[mm] {\mathit{f}_C} {\Gamma_i} {\mathit{f}_C}^{-1} [/mm] = [mm] \Gamma_\mathit{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow {\mathit{f}_C} {\mathit{f_B}} {\mathit{f}_C}^{-1}={\mathit{f_A}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow {\mathit{C}} {\mathit{B}} {\mathit{C}^{-1}}={\mathit{A}}
[/mm]
Wenn mein Ansatz bis hierhin stimmt, dann käme nun die folgende Gleichung raus:
[mm] \begin{pmatrix} \tilde{\delta}\left(\tilde{\alpha}\alpha-\tilde{\beta}\beta\right)-\tilde{\beta}\left(\tilde{\alpha}\beta+\tilde{\beta}\alpha\right) & -\tilde{\gamma}\left(\tilde{\alpha}\alpha-\tilde{\beta}\beta\right)+\tilde{\alpha}\left(\tilde{\alpha}\beta+\tilde{\beta}\alpha\right) \\ \tilde{\delta}\left(\tilde{\gamma}\alpha-\tilde{\delta}\beta\right)-\tilde{\beta}\left(\tilde{\gamma}\beta+\tilde{\delta}\alpha\right) & -\tilde{\gamma}\left(\tilde{\gamma}\alpha-\tilde{\delta}\beta\right)+\tilde{\alpha}\left(\tilde{\gamma}\beta+\tilde{\delta}\alpha\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
[/mm]
--------------
[mm] \red{2. Frage:}
[/mm]
Möglicherweise stehe ich gerade total aufm Schlauch, aber an dieser Stelle komme ich einfach nicht mehr weiter. Mir ist klar, dass ich die Matrizen miteinander multiplizieren muss, allerdings wird die Rechnung ellenlang und ich komme zu keinem richtigen Ergebnis. Vermute mal, dass ich irgendwie verwenden muss, dass gilt:
[mm] \operatorname{Re} \mathit{z}=\frac{1}{2} \left( z+\bar{z} \right)
[/mm]
bzw.
[mm] \operatorname{Im} \mathit{z}=\frac{1}{2i} \left( z-\bar{z} \right)
[/mm]
Oder ist es doch viel simpler und ich wähle einfach ein beliebiges Element aus [mm] \Gamma_i, [/mm] wie z.B. die Matrix [mm] =\begin{pmatrix} \cos \tilde{a} & -\sin \tilde{a} \\ \sin \tilde{a} & \cos \tilde{a} \end{pmatrix}
[/mm]
--------------
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
> Da es sich bei [mm]{\mathit{f}_A}=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}[/mm]
> um eigentliche h-Bewegungen handelt, die [mm]\mathit{a}[/mm] fest
> lassen, kann man o.B.d.A. annehmen: [mm]\gamma z+\delta=1.[/mm]
Das kannst du auf keinen Fall annehmen. Schließlich ist $z$ eine Variable...
Du könntest höchstens [mm] $\gamma a+\delta=1$ [/mm] annehmen, dann ist aber [mm] $\det [/mm] A=1$ nicht mehr gewährleistet...
> Wegen [mm]\mathit{f_A(a)=a}[/mm] und daher [mm]\alpha \mathit{a}+\beta=\mathit{a}[/mm]
> kann man [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] wie folgt wählen: [mm]\alpha=1[/mm] und
> [mm]\beta=0.[/mm]
>
> --------------
> [mm]\red{1. Frage:}[/mm]
> Kann man daraus nun folgern, dass die
> Matrix A die Einheitsmatrix sein muss, weil bei
> eigentlichen Bewegungen zusätzlich ja noch gelten muss
> [mm]\det{A=1}[/mm] ??? Bzw. es handelt sich ja entweder um eine
> Translation um 0, eine Drehung um 0°/360°/etc. oder um eine
> Streckung um den Faktor 1, und somit sind [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> doch eindeutig bestimmt, oder???
Diese Frage beantwortest du dir eigentlich schon selbst. Wenn z.B. $a=i$, dann ist durch jede Matrix [mm] $A:=\pmat{\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x},\ x\in [0;2\pi)$ [/mm] eine solche Abbildung gegeben.
Du machst es dir tatsächlich ein bisschen zu kompliziert, wenn du die Matrix $C$ suchst.
Das liegt vor allem daran, dass es keine eindeutige Lösung gibt, denn für jede Matrix $D$ mit [mm] $f_D(i)=i$ [/mm] ist ja wieder [mm] $f_{DC}(a)=f_D(f_C(a))=i$! [/mm]
Versuch erstmal folgenden Ansatz: [mm] $\tilde C=\pmat{\tilde\alpha & \tilde \beta\\ 0&1}$.
[/mm]
Bestimme jetzt [mm] $\tilde\alpha$ [/mm] und [mm] $\tilde \beta [/mm] $ so, dass [mm] $f_{\tilde C}(a)=i$!
[/mm]
Jetzt setze [mm] $C:=\bruch{\tilde C}{\sqrt{\det(\tilde C)}}$. [/mm] Es gilt [mm] $f_C\in \Gamma$ [/mm] und [mm] $f_C(i)=a$!
[/mm]
Jetzt ist noch zu zeigen, dass [mm] $f_C\Gamma_i f_C^{-1}=\Gamma_a$.
[/mm]
Dass [mm] $f_C\Gamma_i f_C^{-1}\subseteq \Gamma_a$ [/mm] ist klar, da [mm] $(f_C\circ f\circ f^{-1})(a)=(f_C \circ [/mm] f)(i)= [mm] f_C(i)=a$ [/mm] für alle [mm] $f\in \Gamma_i$.
[/mm]
Für [mm] $f_C\Gamma_i f_C^{-1}\supseteq \Gamma_a$ [/mm] sei [mm] $g\in\Gamma_a$. [/mm] Setze [mm] $f:=f_C^{-1}\circ g\circ f_C$. [/mm] Kannst du zeigen, dass [mm] $f\in\Gamma_i$? [/mm]
Dann ist [mm] $f_C\circ f\circ f_C^{-1}=g$...
[/mm]
Kommst du jetzt durch den Beweis durch? Ansonsten kannst du gerne nochmal nachfragen...
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Mo 12.09.2005 | | Autor: | lala_hd |
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") vielen dank...werd mich nun mal an die arbeit machen und deine tips ausprobieren...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:32 So 02.10.2005 | | Autor: | lala_hd |
hi...
noch mal vielen Dank für die Tipps. Habs endlich mal geschafft, mir alles näher anzuschauen und dabei ist mir klar geworden, dass ich mich zu sehr darauf verlassen habe, diese Aufgabe auf die gleiche Art und Weise zu lösen, wie die anderen Aufgaben auf dem Übungsblatt nämlich rechnerisch aber das geht hier scheinbar net sooooo leicht.
Naja
aber einiges ist mir noch immer unklar:
> Du machst es dir tatsächlich ein bisschen zu kompliziert,
> wenn du die Matrix [mm]C[/mm] suchst.
> Das liegt vor allem daran, dass es keine eindeutige Lösung
> gibt, denn für jede Matrix [mm]D[/mm] mit [mm]f_D(i)=i[/mm] ist ja wieder
> [mm]f_{DC}(a)=f_D(f_C(a))=i[/mm]!
Bis hierhin verstehe ich es noch halbwegs (obwohl ich bei Knörrer "Geometrie" noch eine andere Variante gefunden habe, in der mit dieser Matrix (vgl. 1. Frage) gearbeitet wird, allerdings wird dann ein anderer komplizierterer Lösungsweg eingeschlagen, der mir nicht ganz klar ist).
Ich habe aber noch Schwierigkeiten damit, zu verstehen, wie ich auf die Matrix [mm]\tilde C=\pmat{\tilde\alpha & \tilde \beta\\ 0&1}[/mm] komme bzw. weshalb ich genau diese Matrix verwenden muss.
> Versuch erstmal folgenden Ansatz: [mm]\tilde C=\pmat{\tilde\alpha & \tilde \beta\\ 0&1}[/mm].
>
> Bestimme jetzt [mm]\tilde\alpha[/mm] und [mm]\tilde \beta[/mm] so, dass
> [mm]f_{\tilde C}(a)=i[/mm]!
> Jetzt setze [mm]C:=\bruch{\tilde C}{\sqrt{\det(\tilde C)}}[/mm].
> Es gilt [mm]f_C\in \Gamma[/mm] und [mm]f_C(i)=a[/mm]!
??? Wieso ist nun [mm]f_C(i)=a[/mm] und nicht mehr [mm]f_C(a)=i[/mm], wie in der Aufgabenstellung verlangt???
Was ich dann noch zeigen muss, scheint mir wieder logisch, obwohl es an der Ausführung wegen dem [mm]f_C(i)=a[/mm] noch hakt!
> Jetzt ist noch zu zeigen, dass [mm]f_C\Gamma_i f_C^{-1}=\Gamma_a[/mm].
>
> Dass [mm]f_C\Gamma_i f_C^{-1}\subseteq \Gamma_a[/mm] ist klar, da
> [mm](f_C\circ f\circ f^{-1})(a)=(f_C \circ f)(i)= f_C(i)=a[/mm] für
> alle [mm]f\in \Gamma_i[/mm].
> Für [mm]f_C\Gamma_i f_C^{-1}\supseteq \Gamma_a[/mm]
> sei [mm]g\in\Gamma_a[/mm]. Setze [mm]f:=f_C^{-1}\circ g\circ f_C[/mm]. Kannst
> du zeigen, dass [mm]f\in\Gamma_i[/mm]?
> Dann ist [mm]f_C\circ f\circ f_C^{-1}=g[/mm]...
grüßle
[mm] \left(la\right)^2
[/mm]
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
.
