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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:32 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Zukku |
| Aufgabe | | Betrachte die Gruppe der Matrizen der Form [mm] \pmat{ 1 & a&b \\ 0 & 1&c \\0&0&1 }, [/mm] a,b,c [mm] \in \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}. [/mm] Bestimme alle Untergruppen dieser Gruppe. |
Wie mache ich das? Mein Ansatz: Ich bestimme zuerst alle Untergruppen mit einem Element, da gibt es nur eine mit der Einheitsmatrix.
Jetzt möchte ich alle Untergruppen mit zwei Elementen bestimmen. Eine Untergruppe mit zwei Elementen muss die Einheitsmatrix beinhalten, sowie eine andere Matrix, die selbstinvers ist. Da die allgemeine Inverse [mm] \pmat{ 1 & -a&-b+ca\\ 0&1&-c\\0&0&1} [/mm] lautet, muss a=-a, b=-b und c=-c gelten, somit ist nur die Einheitsmatrix selbstinvers, also gibt es keine zweielementige Untergruppe.
Stimmt das so weit? Und wie setze ich das ganze fort? Ich muss doch irrsinnig viele Matrizen-Kombinationen überprüfen? Gibt es dafür ein allgemeineres Kalkül?
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Hallo Zukku,
> Betrachte die Gruppe der Matrizen der Form [mm]\pmat{ 1 & a&b \\
0 & 1&c \\
0&0&1 },[/mm]
> a,b,c [mm]\in \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}.[/mm] Bestimme alle
> Untergruppen dieser Gruppe.
> Wie mache ich das? Mein Ansatz: Ich bestimme zuerst alle
> Untergruppen mit einem Element, da gibt es nur eine mit der
> Einheitsmatrix.
>
> Jetzt möchte ich alle Untergruppen mit zwei Elementen
> bestimmen. Eine Untergruppe mit zwei Elementen muss die
> Einheitsmatrix beinhalten, sowie eine andere Matrix, die
> selbstinvers ist. Da die allgemeine Inverse [mm]\pmat{ 1 & -a&-b+ca\\
0&1&-c\\
0&0&1}[/mm]
> lautet, muss a=-a, b=-b und c=-c gelten, somit ist nur die
> Einheitsmatrix selbstinvers, also gibt es keine
> zweielementige Untergruppe.
> Stimmt das so weit? Und wie setze ich das ganze fort? Ich
> muss doch irrsinnig viele Matrizen-Kombinationen
> überprüfen? Gibt es dafür ein allgemeineres Kalkül?
Bis hierhin ist alles richtig.
Da die gesamte Gruppe aber nur 27 Elemente enthält, würde ich andersherum anfangen. Sooo lange dauert es ja auch nicht, die Verknüpfungstabelle aufzustellen.
Im übrigen sagt Dir der ![[]](/images/popup.gif) Satz von Lagrange hier tatsächlich unter anderem, dass es keine Untergruppe mit 2 Elementen geben kann.
Du musst sogar nur noch 2 Gruppenordnungen untersuchen, wenn Du Deinen bisherigen Weg weiter verfolgen willst.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:33 Sa 15.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
vielleicht ist es doch besser, Du bleibst bei Deinem Weg von klein nach groß. Die meisten Gruppen, die Du in Zukunft untersuchen wirst, werden größer sein. Stell Dir schon diese Aufgabe mit einer einzigen Änderung vor, nämlich [mm] a,b,c\in\IZ/6\IZ. [/mm] Dann ist es definitiv besser, systematisch erst die kleinsten Untergruppen zu suchen und sich von da aus voran zu arbeiten.
Hier enthält die einzige Untergruppe der Ordnung 3 die folgenden Elemente (bin gerade schreibfaul, daher nur die nötigen (a,b,c)-Tupel):
(0,0,0), (2,1,1), (1,1,2)
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Zukku |
Hmm. Also dann wird mein Weg wohl nicht klappen. Offiziell kenne ich den Satz von Lagrange noch nicht und dann müsste ich doch alle [mm] \vektor{27 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{27 \\ 9} [/mm] Kombinationen untersuchen?
Wie stellst du dir das genau mit der Verknüpfungstabelle vor? Soll ich alle 27 Möglichkeiten in eine Zeile und alle 27 Möglichkeiten in die Spalte schreiben? Und wie komme ich dann auf z. B. die dreielementigen Untergruppen? Ich glaube, ich habe deine Methode noch nicht verstanden..
Danke auf jeden Fall für deine Antwort!
(Edit: Habe deinen Nachtrag bei dieser Antwort noch nicht gelesen gehabt)
Lg Zukku
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Hallo nochmal,
> Hmm. Also dann wird mein Weg wohl nicht klappen. Offiziell
> kenne ich den Satz von Lagrange noch nicht und dann müsste
> ich doch alle [mm]\vektor{27 \\
3}[/mm] und [mm]\vektor{27 \\
9}[/mm]
> Kombinationen untersuchen?
Theoretisch ja. Das ist natürlich nicht leistbar. Selbst wenn Du weißt, dass die Einheitsmatrix zu Deiner Untergruppe gehört, müsstest Du also [mm] \vektor{26\\8}=1562275 [/mm] Möglichkeiten untersuchen.
Aber es geht systematischer.
> Wie stellst du dir das genau mit der Verknüpfungstabelle
> vor? Soll ich alle 27 Möglichkeiten in eine Zeile und alle
> 27 Möglichkeiten in die Spalte schreiben?
Genau. Und das Verknüpfungsergebnis dann in die entsprechende Tabellenzelle.
> Und wie komme
> ich dann auf z. B. die dreielementigen Untergruppen? Ich
> glaube, ich habe deine Methode noch nicht verstanden..
Die dreielementigen sind leichter zu konstruieren. Damit bist du sogar schon fast fertig. Du hast ja die allgemeine Inverse konstruiert. Alles, was Du brauchst, sind zwei Matrizen, die zueinander invers sind, und von denen jede das Quadrat der andern ist. Dann bilden diese beiden zusammen mit der Einheitsmatrix eine Gruppe.
Zu erfüllen ist also AB=BA=E, [mm] A^2=B, B^2=A [/mm] (und damit auch [mm] A^3=B^3=E).
[/mm]
Das ist leicht zu konstruieren und man findet auch nur ein Paar solcher Matrizen.
Dann überleg mal, wie man die Bedingungen für die 9-elementigen Untergruppen (falls es denn mehrere sind) aufstellen kann und was sie mit den obigen Bedingungen zu tun haben.
> Danke auf jeden Fall für deine Antwort!
Viel Erfolg!
Ich bin erst später am Tag wieder hier, aber es wird sich bestimmt jemand finden, der Dir weiterhilft, wenn Du Fragen hast.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:52 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Zukku |
Möchte mich nochmals herzlich bedanken (habe erst heute wieder die Möglichkeit, online zu sein)
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