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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm] (\IZ/12\IZ,+). [/mm] |
So, ich hab eine Lösung erarbeitet, aber sollte mich stark wundern, wenn das stimmt.
Mein erstes Problem war es die angegebene Gruppe zu verstehen. Ich habe in meinen Unterlagen folgendes gefunden. [mm] (\IZ/m\IZ,+) [/mm] ist eine Gruppe mit [mm] a+b:=\overline{a+b} [/mm] mod m.
So, [mm] \overline{a+b} [/mm] ist dann der Rest der, in unserem Fall, bei mod 12 übrig bleibt. Ich hab mir dann gedacht, das man unsere Gruppe dann auch als [mm] G=(a,b\mid a+b\le [/mm] 11, a,b [mm] \in \IZ) [/mm] schreiben kann.
Danach hab ich mir die Definition von Untergruppen angeguckt. In einer Untergruppe muss das Inverse von jedem Element enthalten sein und die Verknüpfung von zwei Elementen muss wieder in der Untergruppe liegen.
Ich bin dabei auf folgende Untergruppen gekommen:
{0}
{1,-1,0}
{1,-1,2,-2,0}
{1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,0}
{1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5,0}
Das war also mein Lösungsversuch.
Gruß almigtybald
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 So 08.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Ich bin dabei auf folgende Untergruppen gekommen:
>
> {0}
> {1,-1,0}
> {1,-1,2,-2,0}
> {1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,0}
> {1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5,0}
>
> Das war also mein Lösungsversuch.
>
Du sollst beachten:
Lagrange: Die Ordnung einer Untergruppe teilt die Ordnung der Gruppe.
Also kommen nur Untergruppen der Ordnung 1, 2, 3, 4, 6 oder 12 in Frage, wobei die von Ordnung 1 und 12 ja offensichtlich sind..
Noch dazu teilt die Ordnung eines Elements einer Gruppe die Gruppenordnung.. Wenn du also beispielsweise eine Gruppe von Ordnung 6 basteln möchtest, kannst du nur Elemente von Ordnung 1, 2, 3 oder 6 nehmen!
> Gruß almigtybald
Hoffe, das hilft dir ;)
Grüsse, Amaro
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> Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm](\IZ/12\IZ,+).[/mm]
> Mein erstes Problem war es die angegebene Gruppe zu
> verstehen. Ich habe in meinen Unterlagen folgendes
> gefunden. [mm](\IZ/m\IZ,+)[/mm] ist eine Gruppe mit
> [mm]a+b:=\overline{a+b}[/mm] mod m.
Hallo,
die Menge [mm] \IZ/m\IZ [/mm] ist die Menge, die die Restklassen modulo m enthält, also [mm] \IZ/m\IZ=\{\overline{0}_m, \overline{1}_m,...,\overline{m-1}_m\}.
[/mm]
Zusammen mit der von Dir angegebenen Verknüpfung wird sie zu einer Gruppe.
Es ist also [mm] \IZ/m\IZ=\{0, 1, ..., 11}.
[/mm]
Ich lasse, wie dies oft getan wird, die Querstriche als Kennzeichnung für Restklasse weg.
Nun kannst Du mal für Dich eine Verknüpfungstafel aufstellen.
Etwas zu den negativen Zahlen:
-3 ist das Element, welches zu 3 invers ist.
Also ist in Deiner Gruppe -3=9.
Darüber kannst Du mal einen Moment meditieren, in Deiner verknpüfungstafel siehst Du es auch.
> Danach hab ich mir die Definition von Untergruppen
> angeguckt. In einer Untergruppe muss das Inverse von jedem
> Element enthalten sein und die Verknüpfung von zwei
> Elementen muss wieder in der Untergruppe liegen.
>
> Ich bin dabei auf folgende Untergruppen gekommen:
>
> {0}
> {1,-1,0}
Das sieht hier aber schlecht aus: -1=11.
1+1=2,
2*1 =3
usw. und diese Elemente sehe ich nicht in Deiner Menge.
Am besten überlegst Du jetzt mit neune Erkenntnissen neu.
Informiere Dich zunächst über die restklassen modulo m, wenn Du etwas nicht verstehst, kannst Du gern fragen.
Gruß v. Angela
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Ok, ich hab versucht eine Verknüpfungstafel für die Gruppe der Restklasse modulo 12 zu erstellen. Ich werde die Tafel hier nicht posten, das würde ja ewig dauern. In der Tafel habe ich oben von links nach rechts die Zahlen 0 bis 11 und links von oben nach unten auch die Zahlen 0 bis 11 abgetragen. Aufgefüllt habe ich die Tafel dann mit den dem Rest zu modulo 12, der sich durch die Addition der beiden Zahlen ergibt. Also bei 5 und 3 steht dann 8 und bei 10 und 6 steht dann 3.
Danach habe ich mir wieder überlegt wie mögliche Untergruppen aussehen können. Zuerst habe ich mir überlegt, dass alle Gruppen, die (neben der Null) nur die beiden Elemente enthalten, die zusammen Null ergeben, Untergruppen darstellen.
(0,1,11)
(0,2,10)
(0,3,9)
(0,4,8)
(0,5,7)
Die folgenden Fälle sollten auch dabei sein.
(6,0), (0)
Danach habe ich versucht die 1 und die 2 in eine Untergruppe aufzunehmen. Aber wenn ich die 2 aufnehmen muss ich ja auch die 3 aufnehmen und so weiter. Am Ende komm ich dann zur Gruppe mit allen zwölf Elementen.
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)
Außerdem kann ich noch die Gruppe mit allen geraden Zahlen aufnehmen.
(0,2,4,6,8,10)
Hoffe das macht jetzt schon mehr Sinn
Gruß und Dank almigtybald
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Hallo
> Ok, ich hab versucht eine Verknüpfungstafel für die
> Gruppe der Restklasse modulo 12 zu erstellen. Ich werde die
> Tafel hier nicht posten, das würde ja ewig dauern. In der
> Tafel habe ich oben von links nach rechts die Zahlen 0 bis
> 11 und links von oben nach unten auch die Zahlen 0 bis 11
> abgetragen. Aufgefüllt habe ich die Tafel dann mit den dem
> Rest zu modulo 12, der sich durch die Addition der beiden
> Zahlen ergibt. Also bei 5 und 3 steht dann 8 und bei 10 und
> 6 steht dann 3.
>
> Danach habe ich mir wieder überlegt wie mögliche
> Untergruppen aussehen können. Zuerst habe ich mir
> überlegt, dass alle Gruppen, die (neben der Null) nur die
> beiden Elemente enthalten, die zusammen Null ergeben,
> Untergruppen darstellen.
>
> (0,1,11)
> (0,2,10)
> (0,3,9)
> (0,4,8)
> (0,5,7)
>
Was passiert hier, wenn du beispielsweise 1+1 oder 2+2 oder 3+3 usw. schreibst? Ist das Element dann immernoch in deiner Untergruppe?
> Die folgenden Fälle sollten auch dabei sein.
>
> (6,0), (0)
Diese 2 Untergruppen stimmen meiner Meinung nach.. das neutrale Element is drin, das Inverse Element zu 6 is selbst die 6 und somit wieder drin, und die Gruppe ist abgeschlossen gegenüber deiner Verknüpfung.. gut
>
> Danach habe ich versucht die 1 und die 2 in eine
> Untergruppe aufzunehmen. Aber wenn ich die 2 aufnehmen muss
> ich ja auch die 3 aufnehmen und so weiter. Am Ende komm ich
> dann zur Gruppe mit allen zwölf Elementen.
>
> (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)
Das ist dann einfach die ganze gruppe. Aber ja, die kannst du auch aufzählen
>
> Außerdem kann ich noch die Gruppe mit allen geraden Zahlen
> aufnehmen.
>
> (0,2,4,6,8,10)
Gut, eine Gruppe von Ordnung 6 :) Und jedes Element teilt die Gruppenordnung.. sollte also auch stimmen
>
> Hoffe das macht jetzt schon mehr Sinn
>
> Gruß und Dank almigtybald
Grüsse, Amaro
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Ok, dass die Elemente mit sich selbst verknüpft werden können, hab ich nicht konsequent berücksichtigt. Ich hab jetzt nochmal drüber nachgedacht und bin zu folgenden Möglichkeiten gekommen.
(0)
(0,6)
(0,4,8)
(0,3,6,9)
(0,2,4,6,8,10)
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)
Da habe ich auch die Untergruppen aller Ordnungen, die du am Anfang erwähnst hast: 1. 2. 3. 4. 6. und 12. Ordnung. Aber ich hab jetzt zu jeder Ordnung nur eine Untergruppe gefunden. Sind das alle? Ach und du meintest doch die Untergruppe sechster Ordnung darf sich nur der Elemente aus den Untergruppen der 1. 2. und 3. Untergruppe bedienen. Das ist bei mir nicht der Fall, da noch 2 und 10 in der Untergruppe 6. Ordnung enthalten sind.
Gruß und Dank almigtybald
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Hallo
Erstens Mal, Antwort immer ohne Gewähr, da ich die Algebra-Vorlesung auch gerade erst besuche :)
> Ok, dass die Elemente mit sich selbst verknüpft werden
> können, hab ich nicht konsequent berücksichtigt. Ich hab
> jetzt nochmal drüber nachgedacht und bin zu folgenden
> Möglichkeiten gekommen.
>
> (0)
> (0,6)
> (0,4,8)
> (0,3,6,9)
> (0,2,4,6,8,10)
> (0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)
Nun, diese Untergruppen stimmen schon mal, denke ich.
>
> Da habe ich auch die Untergruppen aller Ordnungen, die du
> am Anfang erwähnst hast: 1. 2. 3. 4. 6. und 12. Ordnung.
> Aber ich hab jetzt zu jeder Ordnung nur eine Untergruppe
> gefunden. Sind das alle? Ach und du meintest doch die
> Untergruppe sechster Ordnung darf sich nur der Elemente aus
> den Untergruppen der 1. 2. und 3. Untergruppe bedienen. Das
> ist bei mir nicht der Fall, da noch 2 und 10 in der
> Untergruppe 6. Ordnung enthalten sind.
Ne ne, das habe ich nicht gesagt.. ich habe gemeint, dass die Untergruppe von Ordnung 6 Elemente von [mm] \underline{Ordnung} [/mm] 1, 2, 3 oder 6 enthalten kann.. die Ordnung eines Elements muss die Gruppenordnung teilen!
>
> Gruß und Dank almigtybald
Sollte ich noch ne Untergruppe finden, melde ich mich :)
Grüsse, Amaro
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