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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Do 16.07.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
ich soll zeigen:
Jede endlich erzeugte Untergruppe der additiven Gruppe Q/Z ist endlich und zyklisch.
Dass jede endlich erzeugte Untergruppe der additiven Gruppe Q/Z zyklisch ist, konnte ich nachweisen. Aber warum sie endlich ist, kann ich nicht beweisen. Mein "Ansatz":
Sei U [mm] \subset [/mm] Q/Z, seien [mm] x_1, [/mm] ... , [mm] x_s \in [/mm] Q/Z und [mm] U=\{x \in Q/Z: \exists p_i \in Z: x=p_1x_1+...+p_sx_s\}
[/mm]
warum gibt es nur endlich viele x?
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:11 Fr 17.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich soll zeigen:
> Jede endlich erzeugte Untergruppe der additiven Gruppe Q/Z
> ist endlich und zyklisch.
>
> Dass jede endlich erzeugte Untergruppe der additiven Gruppe
> Q/Z zyklisch ist, konnte ich nachweisen.
Dann hast du den Grossteil geschafft.
> Aber warum sie
> endlich ist, kann ich nicht beweisen. Mein "Ansatz":
> Sei U [mm]\subset[/mm] Q/Z, seien [mm]x_1,[/mm] ... , [mm]x_s \in[/mm] Q/Z und [mm]U=\{x \in Q/Z: \exists p_i \in Z: x=p_1x_1+...+p_sx_s\}[/mm]
Da du weisst das die Untergruppe zyklisch ist, reicht es zu zeigen, dass der Generator endliche Ordnung hat. Du nimmst also ein beliebiges Element aus [mm] $\IQ/\IZ$, [/mm] etwa [mm] $\frac{p}{q} [/mm] + [mm] \IZ$, [/mm] und musst ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] finden mit $n [mm] (\frac{p}{q} [/mm] + [mm] \IZ) [/mm] = [mm] \IZ$, [/mm] also mit $n [mm] \frac{p}{q} \in \IZ$.
[/mm]
LG Felix
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