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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Sa 01.11.2008 | | Autor: | s.1988 |
| Aufgabe | Sei (G,*) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass für eine nichtleere Teilmenge H von G die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Für alle [mm] h_{1},h_{2} \in [/mm] H gilt [mm] h_{1}^{-1} \in [/mm] H und [mm] h_{1}*h_{2} \in [/mm] H
(ii) Für alle [mm] h_{1},h_{2} \in [/mm] H gilt [mm] h_{1}*h_{2}^{-1} \in [/mm] H
(iii) Für alle [mm] h_{1},h_{2} \in [/mm] H gilt [mm] h_{1}*h_{2} \in [/mm] H und (H,*) ist eine Gruppe |
Hi,
ich habe mir überlegt, dass ich am besten zeigen kann, dass:
(i)=>(ii)=>(iii)=>(i)
Also einen Ringschluss, oder wie das heißt.
Viel mehr weiß ich aber noch nicht.
Könnte ich wohl einen Tipp bekommen?
Ich kann ja quasi gar nichts voraussetzen, ich weiß ja schließlich nicht, ob es eine Gruppe oder ähnliches ist.
Viele Grüße
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei (G,*) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass für eine nichtleere
> Teilmenge H von G die folgenden Aussagen äquivalent sind:
> (i) Für alle [mm]h_{1},h_{2} \in[/mm] H gilt [mm]h_{1}^{-1} \in[/mm] H und
> [mm]h_{1}*h_{2} \in[/mm] H
> (ii) Für alle [mm]h_{1},h_{2} \in[/mm] H gilt [mm]h_{1}*h_{2}^{-1} \in[/mm]
> H
> (iii) Für alle [mm]h_{1},h_{2} \in[/mm] H gilt [mm]h_{1}*h_{2} \in[/mm] H
> und (H,*) ist eine Gruppe
> Hi,
> ich habe mir überlegt, dass ich am besten zeigen kann,
> dass:
> (i)=>(ii)=>(iii)=>(i)
> Also einen Ringschluss, oder wie das heißt.
> Viel mehr weiß ich aber noch nicht.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wir schauen jetzt mal, wie man (i) ==> (ii) zeigen kann.
Vorausgesetzt ist hier die Gültigkeit von (i), und man muß zeigen, daß unter dieser Voraussetzung dann auch (ii) gilt.
Wir schauen uns jetzt zunächst die Voraussetzung (i) genau an:
Voraussetzung:
> (i) Für alle [mm]h_{1},h_{2} \in[/mm] H gilt [mm]h_{1}^{-1} \in[/mm] H und [mm]h_{1}*h_{2} \in[/mm] H
Jetzt überlegen wir, was das, was dort geschrieben steht bedeutet. In Worten bedeutet es:
wenn ich aus der Menge H irgendwelche zwei Elemente nehme, dann ist sowohl deren Inverses in H als auch ihr Produkt.
Wenn man die Voraussetzung verstanden hat, kann man den Beweis versuchen.
zu zeigen: unter der obigen Voraussetzung gilt (ii) Für alle [mm]h_{1},h_{2} \in[/mm] H gilt [mm]h_{1}*h_{2}^{-1} \in[/mm] H
Beweis:
Es seien [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] irgendzwei Elemente aus H.
Überlege Dir nun zunächst, warum [mm] h_{2}^{-1} [/mm] in H liegt, und anschließend, warum [mm]h_{1}*h_{2}^{-1} \in[/mm] H.
Ich könnte mir vorstellen, daß das, nachdem die Voraussetzung in Worten formuliert wurde, nicht mehr schwer ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 02.11.2008 | | Autor: | s.1988 |
Hallo,
ich fang mal an, wie ich mir das gedacht habe:
(i) Für alle h1,h2 [mm] \in [/mm] H gilt [mm] h1^{-1} \in [/mm] H und h1*h2 [mm] \in [/mm] H
=>Für alle h1,h2 [mm] \in [/mm] H existiert [mm] h2^{-1} [/mm] und h1*h2 [mm] \in [/mm] H
=>Für alle h1,h2 [mm] \in [/mm] H gilt gilt [mm] h1*h2^{-1} \in [/mm] H (ii)
=>Für alle h1,h2 [mm] \in [/mm] H gilt [mm] h1*h2^{-1} \in [/mm] H
=>e [mm] \in [/mm] H , [mm] h^{-1} \in [/mm] H
=>Für alle h1,h2 [mm] \in [/mm] H gilt h1*h2 [mm] \in [/mm] H und H,* ist Gruppe (iii)
=>Für alle h1,h2 [mm] \in [/mm] H gilt [mm] h1^{-1} \in [/mm] H und h1*h2 [mm] \in [/mm] H
Kann man das so machen?
Viele Grüße
Sebastian
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> Hallo,
> ich fang mal an, wie ich mir das gedacht habe:
>
> (i) Für alle h1,h2 [mm]\in[/mm] H gilt [mm]h1^{-1} \in[/mm] H und h1*h2 [mm]\in[/mm]
> H
> =>Für alle h1,h2 [mm]\in[/mm] H existiert [mm]h2^{-1}[/mm] und h1*h2 [mm]\in[/mm] H
> =>Für alle h1,h2 [mm]\in[/mm] H gilt gilt [mm]h1*h2^{-1} \in[/mm] H (ii)
> =>Für alle h1,h2 [mm]\in[/mm] H gilt [mm]h1*h2^{-1} \in[/mm] H
> =>e [mm]\in[/mm] H , [mm]h^{-1} \in[/mm]
> H
> =>Für alle h1,h2 [mm]\in[/mm] H gilt h1*h2 [mm]\in[/mm] H und H,* ist Gruppe
> (iii)
> =>Für alle h1,h2 [mm]\in[/mm] H gilt [mm]h1^{-1} \in[/mm] H und h1*h2 [mm]\in[/mm] H
>
> Kann man das so machen?
Hallo,
das ist zu undeutlich.
Du solltest wirklich Teilaussage für Teilaussage abhandeln,
also
(i) ==> (ii)
(ii) ==> (iii)
(iii) ==> (i)
(Du kannst natürlich Deinen "Ring" auch anders anordnen, wenn der Beweis dadurch einfacher wird.)
Es muß jeweils deutlich zu erkennen sein, welche Teilaussage gerade bewiesen wird.
Ich hatte Dir zuvor ja schon angedeutet, wie man (i) ==> (ii) beweisen kann.
Es ist nicht verkehrt, sondern erwünscht, ein paar erklärende Worte zu spendieren.
Wenn ich mir z.B. anschaue, wie Du von (ii) zu (iii) kommst, erkenne ich nicht, wieso e in H liegt und was es mit [mm] h^{-1} [/mm] auf sich hat. Ich weiß gar nicht, was h ist!
Und die Tatsache, daß [mm] h_1h_2 \in [/mm] H ist, steht dort zwar, aber der grund ist mir nicht klar.
Es müßte sich ja irgendwie aus der Voraussetzung ergeben.
Die Gedanken, die Du Dir gemacht hast, sind ja bestimmt weitgehend richtig, aber Du mußt sie noch schlüssig darstellen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Zerwas |
Hallo,
ich hänge momentan am fast gleichen Problem.
Wie kann ich wirklich schlüssig zeigen, dass für eine Teilmenge H [mm] \subset [/mm] G aus der Tatsache, dass a,b [mm] \in [/mm] H folgt dass [mm] ab^{-1}\in [/mm] H H eine Untergruppe von G bildet.
Umgekehrt ist es einfach:
Ist H eine Untergruppe von G dann gilt
a,b [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow b^{-1} \in [/mm] H [mm] \Rightarrow ab^{-1} \in [/mm] H
aber wie komme ich zurück? wie zeige ich dass es ein 1-Element und ein Inverses in H gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Dath |
Vielleicht habe ich nicht ganz verstanden, waorauf du hinauswillst, aber wie die Vorhergehenden schon richtig geschrieben haben ist die Idee das mit einem Ringschluss zu beweisen. D.h., ich sage: Aussage 1 stimmt, und flgere daraus, dass Aussage 2 gilt, dann nehme ich Aussage 2, folgere daraus, dass Aussage 3 gilt, und aus Aussage 3 folgt 1.
Z.B. [mm]a,b^{-1}\in H, \wedge a*(b{^-1}\in H \rightarrow ab^{-1} \in H[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Zerwas |
Das was ist schon klar ... es geht mehr um das wie
Wie zeige ich konkret dass aus der Tatsache:
a,b [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow ab^{-1} \in [/mm] H
folgt dass H eine Untergruppe von G ist.
Ich muss ja dann zeigen dass mein neutrales Element auch in H liegt und dass zu jedem a [mm] \in [/mm] H auch das Inverse in H liegt ... und das nur mit der oben genannten Voraussetzung aber wie?
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Hallo Zerwas,
ich weiß nicht ob mein Weg jetzt der eleganteste ist, aber spontan fällt mir kein anderer Weg ein:
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] H: [mm] ab^{-1} \in [/mm] H
[mm] \Rightarrow ab^{-1}*(ab^{-1})^{-1} \in [/mm] H
[mm] \Rightarrow ab^{-1}*(b^{-1})^{-1}a^{-1} \in [/mm] H (das muss in der Vorlesung gekommen sein, dass beim invertieren von 2 Elementen diese vertauscht werden)
[mm] \Rightarrow a*a^{-1}=e \in [/mm] H
und schon haben wir mit einem Schlag unser neutrales Element e und das Inverse [mm] a^{-1} [/mm] zu unserem allgemeinen a.
Der Rest sollte jetzt nicht mehr all zu schwer werden. Ich hoffe ich konnte dir helfen!
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Zerwas |
Okay das klingt logisch ... Danke :)
Der erste Schritt war wo es bei mir hing ... die Voraussetzung zweimal hintereinander anzuwenden einfach
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