Untergruppe von (Q,+) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 Di 16.10.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | z.z: [mm] \{a/p^n | a,n\in\IZ, n\ge{0}\} [/mm] Untergruppe von [mm] (\IQ,+) [/mm] |
Nun, ich möchte zeigen, dass für bel. 2 Elemente x,y aus der Menge [mm] x+y^{-1} [/mm] wieder in der Menge ist.
Sei [mm] x=a/p^n [/mm] und [mm] y=b/p^n [/mm] => [mm] x+y^-1=1/p^n+p^n/b=\bruch{ab+p^{2n}}{b*p^n}, [/mm] dass kann aber nicht in der Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] enthalten sein, wo liegt mein Fehler?
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> z.z: M:=[mm]\{a/p^n | a,n\in\IZ, n\ge{0}\}[/mm] Untergruppe von
> [mm](\IQ,+)[/mm]
> Nun, ich möchte zeigen, dass für bel. 2 Elemente x,y aus
> der Menge [mm]x+y^{-1}[/mm] wieder in der Menge ist.
>
> Sei [mm]x=a/p^n[/mm] und [mm]y=b/p^n[/mm] =>
> [mm]x+y^-1=1/p^n+p^n/b=\bruch{ab+p^{2n}}{b*p^n},[/mm] dass kann aber
> nicht in der Teilmenge von [mm]\IQ[/mm] enthalten sein, wo liegt
> mein Fehler?
Hallo,
Du machst zwei Fehler:
1.
wenn Du zwei beliebige Elemente aus der Menge M nimmst, so mußt Du
[mm] x=a/p^n [/mm] und [mm] y=b/p^m [/mm] nehmen, denn die Exponenten sind ja nicht fest.
2.
Der große Fehler ist, daß Du zeigen sollst, daß die Menge eine Gruppe bzgl. + ist, Du aber das inverse Element bzgl der Multiplikation verwendest zum Zeigen der Untergruppeneigenschaft.
LG Angela
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