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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Untergruppe einer Matrix
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Untergruppe einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Fr 07.02.2014
Autor: Babybel73

Aufgabe
Betrachte die Menge der 3x3 Matrizen mit reellen Einträgen der Form
[mm] \pmat{ 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
a) Man beweise, dass diese Menge U versehen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.
b) Entscheide, ob diese Gruppe abelsch sit.
c) Bestimme alle endlichen Untergruppen von U.

Hallo zusammen

a & b waren kein Problem. Aber wie löse ich den c?
H [mm] \subset [/mm] U heisst Untergruppe, wenn gilt:
1) a,b [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \in [/mm] H
2) a [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] H

Aber wie muss ich jetzt konkret vorgehen?

        
Bezug
Untergruppe einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Fr 07.02.2014
Autor: Diophant

Hallo,

untersuche mal das Produkt

[mm] \pmat{ 1 & a_1 & b_1 \\ 0& 1 & c_1 \\ 0 & 0 & 1} *\pmat{1 & a_2 & b_2 \\ 0& 1 & c_2 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]

etwas näher. Damit sollte klar werden, dass es eher wenig endliche Untergruppen von U gibt...

EDIT: es reicht auch schon aus,

[mm] \pmat{ 1 & a & b \\ 0& 1 & c \\ 0 & 0 & 1}^n [/mm]

für einige n zu betrachten und sich an den Satz von Lagrange (und hier: was gilt für die Ordnung eines beliebigen Elements, wenn eine Gruppe endlich ist?) zu erinnern.

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Untergruppe einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:29 Sa 08.02.2014
Autor: hippias

Als vielleicht weniger rechenintensive Variante zu Diophants Loesung diese Bemerkung: Sei $M$ Deine Matrix und $m$ ihr Minimalpolynom. Da $M-1$ als strikt obere Dreiecksmatrix nilpotent ist, gilt [mm] $m\vert (t-1)^{k}$ [/mm] fuer ein $k$. Hat $M$ endliche Ordnung, ist also [mm] $M^{n}= [/mm] 1$ fuer ein $n$, so ist ebenso [mm] $m\vert t^{n}-1$. [/mm] Nun ist aber leicht zu zeigen, dass [mm] $ggT((t-1)^{k}, t^{n}-1)= [/mm] t-1$. Daher $M-1= 0$.

Bezug
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