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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Di 25.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass [mm] G=\{\epsilon, (12)(34),(13)(24),(14)(23)\}eine [/mm] Untergruppe von [mm] S_4 [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
Ansich ein ganz easy Beispiel. Aber ich hab eine Frage dazu.
Beim Bsp. als wir zeigen mussten dass G sogar ein Normalteiler ist(ist ja Standartbsp dafür, dass die [mm] A_4 [/mm] nicht einfach ist) habe ich händisch nachgerechnet dass für [mm] G=\{\epsilon, a,b,c\} [/mm] gilt [mm] a\circ [/mm] b=c.
Nun meinte der Professor anstelle, dass händisch zu zeigen - was ja auch keine Arbeit ist - könnte man das auch abstrakt zeigen, was ja oft eleganter ist. Habt ihr einen Tipp, wie das der Professor genau meinte?
LG,
sissi
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Hallo Sissi,
es würde reichen, zu zeigen, dass $G$ der von $(12)(34)$ ![[]](/images/popup.gif) erzeugte Normalteiler ist. Da konjugierte Permutationen denselben Zykeltyp haben, ist [mm] $(12)(34)^{S_4}\subseteq [/mm] G$ bereits klar. Umgekehrt benötigst du für [mm] $G\subseteq(12)(34)^{S_4}$ [/mm] nur noch zwei Rechnungen.
Dann hast du sowohl Untergruppen- als auch Normalteilereigenschaft.
Ansonsten könntest du auch einen surjektiven Homomorphismus [mm] $S_4\longrightarrow S_3$ [/mm] suchen und [mm] $V_4$ [/mm] als dessen Kern bestimmen. Wenn du Coxeter-Präsentationen von [mm] $S_4$ [/mm] und [mm] $S_3$ [/mm] kennst, wäre dieses Vorgehen besonders einfach, aber auch sonst sicherlich möglich.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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