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| Aufgabe | Sei G eine beliebige Gruppe, [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] beliebige Untergruppen von G und U = [mm] U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
Ist U eine Untergruppe von G? |
Hallo,
also so wie ich die Aufgabe verstehe muss fuer je zwei beliebige Untergruppen aus G gelten, dass der Schnitt dieser beiden Untergruppen wieder Untergruppe aus G ist.
Ok, es gibt einige Unklarheiten, die ich hier naeher erlaeutern moechte.
Angenommen G := [mm] (\IZ, [/mm] *), [mm] U_{1} [/mm] := [mm] (3\IZ, [/mm] *) und [mm] U_{2} [/mm] := [mm] (2\IZ, [/mm] *), wobei
* = Verknuepfung fuer die Multiplikation sein soll.
Hier die erste Frage: Ist das von der Schreibweise her richtig?
Dann ist U = [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = [mm] (\emptyset, [/mm] *)
Auch hier Frage: Ist das von der Schreibweise her richtig?
[mm] \Rightarrow [/mm] e [mm] \not\in \emptyset \Rightarrow [/mm] e [mm] \not\in [/mm] U.
[mm] \Rightarrow [/mm] Bedingung fuer Untergruppe nicht erfuellt,
[mm] \Rightarrow [/mm] Aussage falsch.
Ich moechte also zeigen, dass das neutrale Element e [mm] \not\in \emptyset [/mm] und die Aussage somit nicht stimmt.
Gruss
Blutritter
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Hallo,
> Sei G eine beliebige Gruppe, [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] beliebige
> Untergruppen von G und U = [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]
>
> Ist U eine Untergruppe von G?
> Hallo,
>
> also so wie ich die Aufgabe verstehe muss fuer je zwei
> beliebige Untergruppen aus G gelten, dass der Schnitt
> dieser beiden Untergruppen wieder Untergruppe aus G ist.
>
> Ok, es gibt einige Unklarheiten, die ich hier naeher
> erlaeutern moechte.
>
> Angenommen G := [mm](\IZ,[/mm] *)
G soll doch eine Gruppe sein ...
[mm](\IZ,\cdot{})[/mm] ist keine Gruppe ...
Was ist denn zB. das Inverse von 2?
> , [mm]U_{1}[/mm] := [mm](3\IZ,[/mm] *) und [mm]U_{2}[/mm] :=
> [mm](2\IZ,[/mm] *), wobei
> * = Verknuepfung fuer die Multiplikation sein soll.
>
> Hier die erste Frage: Ist das von der Schreibweise her
> richtig?
Jo, aber Gruppen sind das nicht ...
>
> Dann ist U = [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] = [mm](\emptyset,[/mm] *)
>
> Auch hier Frage: Ist das von der Schreibweise her richtig?
Naja, [mm]U_1\cap U_2=\emptyset[/mm] ist schon richtig, aber das hilft dir hier goar nix ...
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] e [mm]\not\in \emptyset \Rightarrow[/mm] e [mm]\not\in[/mm] U.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Bedingung fuer Untergruppe nicht erfuellt,
> [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage falsch.
Das kann doch gar nicht sein.
Es ist doch in jeder Untergruppe einer Gruppe G das neutrale Element von G drin, also auch im Schnitt von zwei Untergruppen ...
>
> Ich moechte also zeigen, dass das neutrale Element e
> [mm]\not\in \emptyset[/mm] und die Aussage somit nicht stimmt.
Das wird nicht klappen ...
Zeige lieber, dass die Aussage gilt; das tut sie nämlich.
Für das neutrale Element habe ich das verbal ja schon gemacht.
Zeige du nun die anderen Axiome ...
>
> Gruss
>
> Blutritter
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
danke fuer die Antwort.
> G soll doch eine Gruppe sein ...
>
> [mm](\IZ,\cdot{})[/mm] ist keine Gruppe ...
Ja das sehe ich jetzt auch :).
> Was ist denn zB. das Inverse von 2?
1/2 und 1/2 [mm] \not\in \IZ. [/mm] Das Inverse von 2 liegt also nicht in [mm] \IZ [/mm] und somit ist die Bedingung fuer Untergruppe nicht erfuellt, ist das so korrekt?
> Naja, [mm]U_1\cap U_2=\emptyset[/mm] ist schon richtig, aber das
> hilft dir hier goar nix ...
Ok.
> Das kann doch gar nicht sein.
>
> Es ist doch in jeder Untergruppe einer Gruppe G das
> neutrale Element von G drin, also auch im Schnitt von zwei
> Untergruppen ...
Hmm ok und der Schnitt von 2 beliebigen Untergruppen kann nicht leer sein, weil eben das neutrale Element in jeder Untergruppe steckt.
> Zeige lieber, dass die Aussage gilt; das tut sie nämlich.
>
> Für das neutrale Element habe ich das verbal ja schon
> gemacht.
>
> Zeige du nun die anderen Axiome ...
Hmm, leichter gesagt :).
Also es muesste ja noch gezeigt werden, dass zu jedem x [mm] \in [/mm] U ein [mm] x^{-1} \in [/mm] U existiert.
Das Inverse zu einem beliebigen x [mm] \in U_{1} [/mm] liegt wieder in [mm] U_{1}, [/mm] weil das die Bedingung fuer Untergruppe ist. Und [mm] U_{1} [/mm] soll ja eine beliebige Untergruppe sein. Das gleiche gilt fuer [mm] U_{2}, [/mm] wenn ich also ein Element aus dem Schnitt von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] nehme, dann muss das Inverse dazu auch wieder in U liegen, weil der Schnitt von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] ja alle gemeinsamen Elemente mit einschliesst (also auch die Inversen). Somit waere die Bedingung auch hier erfuellt.
Dann muss noch gezeigt werden, dass wenn x,y [mm] \in [/mm] U, dann auch xy [mm] \in [/mm] U.
Im Prinzip dieselbe Argumentation. Wenn ich zwei Elemente aus U waehle, dann sind diese sowohl Elemente aus [mm] U_{1} [/mm] als auch aus [mm] U_{2}, [/mm] dann ist das Produkt dieser beiden Elemente auch wieder im Schnitt von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] weil das Produkt ebenfalls in beiden Mengen enthalten ist also [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2}.
[/mm]
geht das in die richtige Richtung?
Gruss
Blutritter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:59 Di 24.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo schachuzipus,
>
> danke fuer die Antwort.
>
> > G soll doch eine Gruppe sein ...
> >
> > [mm](\IZ,\cdot{})[/mm] ist keine Gruppe ...
>
> Ja das sehe ich jetzt auch :).
>
> > Was ist denn zB. das Inverse von 2?
>
> 1/2 und 1/2 [mm]\not\in \IZ.[/mm] Das Inverse von 2 liegt also nicht
> in [mm]\IZ[/mm] und somit ist die Bedingung fuer Untergruppe nicht
> erfuellt, ist das so korrekt?
>
> > Naja, [mm]U_1\cap U_2=\emptyset[/mm] ist schon richtig, aber das
> > hilft dir hier goar nix ...
>
> Ok.
>
> > Das kann doch gar nicht sein.
> >
> > Es ist doch in jeder Untergruppe einer Gruppe G das
> > neutrale Element von G drin, also auch im Schnitt von zwei
> > Untergruppen ...
>
> Hmm ok und der Schnitt von 2 beliebigen Untergruppen kann
> nicht leer sein, weil eben das neutrale Element in jeder
> Untergruppe steckt.
>
> > Zeige lieber, dass die Aussage gilt; das tut sie nämlich.
> >
> > Für das neutrale Element habe ich das verbal ja schon
> > gemacht.
> >
> > Zeige du nun die anderen Axiome ...
>
> Hmm, leichter gesagt :).
>
> Also es muesste ja noch gezeigt werden, dass zu jedem x [mm]\in[/mm]
> U ein [mm]x^{-1} \in[/mm] U existiert.
>
> Das Inverse zu einem beliebigen x [mm]\in U_{1}[/mm] liegt wieder in
> [mm]U_{1},[/mm] weil das die Bedingung fuer Untergruppe ist. Und
> [mm]U_{1}[/mm] soll ja eine beliebige Untergruppe sein. Das gleiche
> gilt fuer [mm]U_{2},[/mm] wenn ich also ein Element aus dem Schnitt
> von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] nehme, dann muss das Inverse dazu auch
> wieder in U liegen, weil der Schnitt von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] ja
> alle gemeinsamen Elemente mit einschliesst (also auch die
> Inversen). Somit waere die Bedingung auch hier erfuellt.
>
> Dann muss noch gezeigt werden, dass wenn x,y [mm]\in[/mm] U, dann
> auch xy [mm]\in[/mm] U.
>
> Im Prinzip dieselbe Argumentation. Wenn ich zwei Elemente
> aus U waehle, dann sind diese sowohl Elemente aus [mm]U_{1}[/mm] als
> auch aus [mm]U_{2},[/mm] dann ist das Produkt dieser beiden Elemente
> auch wieder im Schnitt von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] weil das Produkt
> ebenfalls in beiden Mengen enthalten ist also [mm]U_{1}[/mm] und
> [mm]U_{2}.[/mm]
>
> geht das in die richtige Richtung?
Ja
FRED
>
> Gruss
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> Blutritter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Di 24.11.2015 | | Autor: | Blutritter |
Danke!
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