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| Aufgabe | Ermitteln Sie die vollständige Lösungsgesamtheit des folgenden Gleichungssytems:
[mm] x_{1} +x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] =0
[mm] x_{1}+ x_{2} [/mm] + [mm] x_{5}=1
[/mm]
[mm] x_{2}+ x_{3} [/mm] + [mm] x_{5}=1 [/mm] |
Guten Morgen,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Also ich habe hier ja ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem, da ich ja 2 Variable mehr als Gleichungen habe.
Wie genau kann ich denn hier jetzt vorgehen? Also mir ist aufgefallen, dass die Variable [mm] x_{4} [/mm] nur in der ersten Gleichung auftaucht, sollte ich dann als erstes versuchen die zu ermitteln? und was ist mit vollständiger Lösungsgesamtheit gemeint? heißt das ich habe mehrere Zahlen für eine Variable?
Ich suche hier keine eindeutige Lösung sondern einen Denkanstoß der mich in die Richtige Richtung bringt.
Im Voraus schon einmal vielen Dank für eure Mühe,
mfg,
Sebastian
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> Ermitteln Sie die vollständige Lösungsgesamtheit des
> folgenden Gleichungssytems:
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> [mm]x_{1} +x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] =0
> [mm]x_{1}+ x_{2}[/mm] + [mm]x_{5}=1[/mm]
> [mm]x_{2}+ x_{3}[/mm] + [mm]x_{5}=1[/mm]
> Guten Morgen,
>
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
>
> Also ich habe hier ja ein unterbestimmtes lineares
> Gleichungssystem, da ich ja 2 Variable mehr als Gleichungen
> habe.
>
> Wie genau kann ich denn hier jetzt vorgehen? Also mir ist
> aufgefallen, dass die Variable [mm]x_{4}[/mm] nur in der ersten
> Gleichung auftaucht, sollte ich dann als erstes versuchen
> die zu ermitteln? und was ist mit vollständiger
> Lösungsgesamtheit gemeint? heißt das ich habe mehrere
> Zahlen für eine Variable?
>
> Ich suche hier keine eindeutige Lösung sondern einen
> Denkanstoß der mich in die Richtige Richtung bringt.
Hallo,
"normalerweise" löst man solche Aufgaben, indem man erstmal die erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellt und diese dann in ZSF bringt.
Bei inhomogenen GSen ist es sogar von Vorteil, wenn man die reduzierte ZSF aufstellt, also mit Nullen über den Führenden Zeilenelementen der ZSF.
Am besten machst Du das erstmal, dann kann man Dir weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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Hallo ;)
> Bei inhomogenen GSen ist es sogar von Vorteil, wenn man die
> reduzierte ZSF aufstellt, also mit Nullen über den
> Führenden Zeilenelementen der ZSF.
Was ist denn mit führenden Zeilenelementen gemeint?
also ich habe das jetzt in die zfs gebracht, jedenfalls glaube ich, dass es nicht weitergeht, weil es ja unterbestimmt ist, hier meine bisherigen Ergebnisse:
1. [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
2. [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
3. [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0 }
[/mm]
und das bisher so richtig gemacht? Und was wäre dann jetzt der nächste Schritt?
Ich habe ja jetzt in der dritten Zeile noch 2 Variable frei, die ja auch mehr sind als ich Gleichungen habe.
Vielen Dank für die Hilfe,
mfg,
Sebastian
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> Hallo ;)
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> > Bei inhomogenen GSen ist es sogar von Vorteil, wenn man die
> > reduzierte ZSF aufstellt, also mit Nullen über den
> > Führenden Zeilenelementen der ZSF.
>
> Was ist denn mit führenden Zeilenelementen gemeint?
Hallo,
ich habe sie unten rot markiert.
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> also ich habe das jetzt in die zfs gebracht, jedenfalls
> glaube ich, dass es nicht weitergeht, weil es ja
> unterbestimmt ist, hier meine bisherigen Ergebnisse:
>
> 1. [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
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> 2. [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> 3. [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \red{1} & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \red{-2} & -1 & 0 & 0 }[/mm]
>
> und das bisher so richtig gemacht?
Ja.
> Und was wäre dann jetzt
> der nächste Schritt?
Ich zeige Dir zwei Möglichkeiten:
A.
> Ich habe ja jetzt in der dritten Zeile noch 2 Variable
> frei, die ja auch mehr sind als ich Gleichungen habe.
Genau.
Du wkannst nun in den Spalten, in denen kein führendes Zeilenelement steht, die Variablen frei wählen, hier ist es [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5.
[/mm]
Also
[mm] x_5=t
[/mm]
[mm] x_4=s
[/mm]
[mm] x_3=-\bruch{1}{2}(0-(-x_4))=-\bruch{1}{2}s
[/mm]
[mm] x_2=1-(-x_3)-(-x_4)-x_5=1-\bruch{1}{2}s+s-t=1+\bruch{1}{2}s-t
[/mm]
[mm] x_1= [/mm] ...
Somit haben die Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}= \vektor{...\\1+\bruch{1}{2}s-t\\-\bruch{1}{2}s\\s\\t}= \vektor{...\\1\\0\\0\\0}+s \vektor{...\\\bruch{1}{2}s\\-\bruch{1}{2}\\1\\0}+t \vektor{...\\...\\...\\...\\...}.
[/mm]
B.
Du hattest [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \red{1} & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \red{-2} & -1 & 0 & 0 }[/mm] --> [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \red{1} & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \red{1} & \bruch{1}{2} & 0 & 0 }[/mm]
Nun erzeuge über den führenden Elementen Nullen.
--> [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \red{1} &0 & -\bruch{1}{2} & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \red{1} & \bruch{1}{2} & 0 & 0 }[/mm]
Nun wendest Du (im Geiste) den "-1-Trick" an:
--> [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \red{1} &0 & -\bruch{1}{2} & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \red{1} & \bruch{1}{2} & 0 & 0\\\green{0} & \green{0} & \green{0} &\green{-1} & \green{0} & \green{0}\\\green{0} & \green{0} & \green{0} &\green{0} & \green{-1} & \green{0}}[/mm].
Die 4. und 5. Spalte sind eine Lösung des homogenen Systems, die rechte Spalte eine spezielle Lösung, so daß Du erhältst
[mm] L=\vektor{0\\1\\0\\0\\0}+ <\vektor{\bruch{1}{2} \\-\bruch{1}{2} \\\bruch{1}{2} \\-1\\0}, \vektor{0\\1 \\0\\0\\-1}>.
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: Alle Umformungen ohne Gewähr. Gewähr aber aufs Prinzip.
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> Vielen Dank für die Hilfe,
>
> mfg,
> Sebastian
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Hallo,
also ich habe mich nochmal genauer mit deiner Erklärung auseinander gesetzt. Ersteinmal vielen Dank, dass die so genau und ausführlich ist.
Du schreibst: Du wkannst nun in den Spalten, in denen kein führendes Zeilenelement steht, die Variablen frei wählen, hier ist es und
aber in der letzten Matrix in der dritten Spalte sind die übrig gebliebenen Variablen x3 und x4, habe die mal blau markiert.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \blue{ -2} & \blue { -1} & 0 & 0 }
[/mm]
was genau meinst du denn mit führendes Zeilenelement? Das ist mir noch nicht ganz klar...
Vielen Dank für deine Hilfe,
mfg,
Sebastian
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> Hallo,
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> also ich habe mich nochmal genauer mit deiner Erklärung
> auseinander gesetzt. Ersteinmal vielen Dank, dass die so
> genau und ausführlich ist.
>
> Du schreibst: Du wkannst nun in den Spalten, in denen kein
> führendes Zeilenelement steht, die Variablen frei wählen,
> hier ist es und
>
> aber in der letzten Matrix in der dritten Spalte sind die
> übrig gebliebenen Variablen x3 und x4, habe die mal blau
> markiert.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \blue{ -2} & \blue { -1} & 0 & 0 }[/mm]
>
> was genau meinst du denn mit führendes Zeilenelement? Das
> ist mir noch nicht ganz klar...
Hallo,
hatte ich die nicht zuvor farbig markiert?
Die Elemente, die in der Zeilenstufenform die von Null verschiedenen Zeilen anführen.
(Da es hier keine Nullzeilen gibt, also die ersten Zeilenelemente.)
Hier haben wir kein führendes Zeilenelement in Spalte 4 und 5.
Gruß v. Angela
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Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, was du mit führendes Zeilenelement meinst. in der Zweiten und dritten Zeile ist eine 0 am Anfang und dann haben wir in der dritten Zeile die -2, aber woher sehe ich, dass es 4 und 5 ist und nicht 3 und 4?
Sorry, aber das will gerade einfach nicht in meinen Kopf ;(
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> Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, was du mit
> führendes Zeilenelement meinst.
Hallo,
Du hattest diese ZSF
[mm] \pmat{ \red{1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \red{1} & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \red{-2} & -1 & 0 & 0 }.
[/mm]
Ich habe die Elemente, die ich als führende Zeilenelemente bezeichne, rot markiert.
Die ersten von 0 verschiedenen Zeilenelemente.
Sie stehen in der 1., 2. und 3. Spalte,
Ich sage nun: Du kannst [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] frei wählen.
(Ich behaupte ja nicht, daß dies immer und in jedem Fall die einzige Möglichkeit ist, sondern ich gebe ein Rezept vor, das immer funktioniert.)
> aber woher sehe ich, dass es 4 und 5
> ist und nicht 3 und 4?
Mit [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] würde das nicht gut klappen:
die letzte Zeile teilt uns mit [mm] x_4=-2x_3. [/mm]
Die sind also nicht beide frei, dh. beliebig zu wählen, sondern heftigst verbunden.
Gruß v. Angela
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