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| Aufgabe | Zwei positive ganze [mm] (x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}) [/mm] und eine negative ganze Zahl [mm] (x_{3}) [/mm] sind so zu bestimmen, dass gilt:
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 8
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 4x_{3} [/mm] = 14 |
Guten Morgen,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Das was hier vorliegt ist doch ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem, weil ich mehr Variable als Gleichungen habe.
Ich habe angefangen wie bei einem ganz normalen Gleichungssystem auch, indem ich versucht habe, Variable zu eliminieren.
Ich habe die zweite Gleichung minus die erste genommen und erhalte dann das hier:
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 8
- [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 10x_{3} [/mm] = 6
nur bin ich jetzt auch shcon mit meinem Latein am ende, da ich ja nicht weiter eliminieren kann, ohne das ich in der zweiten Gleichung wieder ein [mm] x_{1} [/mm] erhalte.
-> Ich suche keine explizite Lösung für diese Aufgabe, sondern vielmehr nen kleine Erklärung, was ich jetzt am besten machen kann.
Im Voraus schonmal tausend dank für eure Mühe.
mfg,
ronin
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Hallo ronin1987,
> [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 8
> - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]10x_{3}[/mm] = 6
Weil eine weitere Gleichung fehlt, kannst du jetzt z.B.[mm]x_{3}[/mm] frei wählen, dann berechnest du den dazu passenden Wert von [mm]x_{2}[/mm], dann wird mit diesen beiden Werten [mm]x_{1}[/mm] berechnet. Das ergibt eine riesige (unendliche) Lösungsmenge, weil für [mm]x_{3}[/mm] zunächst alle reellen Zahlen in Frage kommen.
Du hast in der Aufgabe aber noch zusätzliche Forderungen an die Zahlen und musst jetzt überlegen, wie du die erfüllen kannst: Ob Probieren, ob mit System, das kannst du dir jetzt überlegen.
Gruß, MatheOldie
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Danke Matheoldie für die schnelle Antwort. Ich habe das auch gleich mal ausprobiert und es hat super geklappt. Habe einfach mal für [mm] x_{3} [/mm] = 2 eingesetzt und weitergerechnet und komme auf die Lösung:
[mm] x_{1} [/mm] = 16
[mm] x_{2} [/mm] = -26
[mm] x_{3} [/mm] = 2
jetzt habe ich ja dabei auch eine negative Zahl, die Frage ist aber für mich, ist das jetzt zufall? Bei der Beantwortuing eben hast du von einem System für die Lösung gesprochen, kannst du mir da noch einen Tipp geben?
Ansonsten tausend dank schonmal für die bisherige Antwort, das bringt mich schonmal weiter ;)
mfg,
Ronin
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Hallo,
> [mm]x_{1}[/mm] = 16
> [mm]x_{2}[/mm] = -26
> [mm]x_{3}[/mm] = 2
Gut. Das ist aber noch keine Lösung, die die Bedingungen erfüllt, denn [mm]x_{3}[/mm] soll negativ-ganz sein.
Wenn ich die letzte Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm] auflöse, sehe ich, dass sich für jede negative ganze Zahl [mm]x_{3}[/mm] eine positive ganze Zahl [mm]x_{2}[/mm] ergibt, das wäre also kein Problem. Prüfe den Gedankengang einmal nach.
Jetzt muss sich aber auch noch für [mm]x_{1}[/mm] eine positive ganze Zahl ergeben. Dazu würde ich systematisch so vorgehen, dass die erste Gleichung nach [mm]x_{1}[/mm] aufgelöst wird und das [mm]x_{2}[/mm] der zweiten Gleichung eingesetzt wird. Du erhälst also eine Gleichung, in der [mm]x_{1}[/mm] in Abhängigkeit für einen gewählten Wert [mm]x_{3}[/mm] berechnet werden kann. Wenn man diesen Ausdruck genau anschaut, kann man erkennen, dass für [mm]x_{3}[/mm] nur ein Wert in Frage kommt, so dass [mm]x_{1}[/mm] die Bedingung erfüllt.
Gruß
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Also erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Ich bin jetzt schon seit einer viertel Stunde hier am rumrechnen, komme leider immernoch nicht weiter, aber ich zeige hier mal die Schritte, vllt. kannst du ja den Fehler erkennen.
Du hast gesagt erst die zweite Gleichung nach [mm] x_{2} [/mm] auflösen.
1. [mm] -x_{2}-10x_{3}=14 [/mm] | + [mm] 10x_{3}
[/mm]
2. [mm] -x_{2} [/mm] = [mm] 14+10x_{3}
[/mm]
aber was genau sagt mir das jetzt? dadurch, dass [mm] x_{2} [/mm] negativ ist kann mein [mm] x_{3} [/mm] ja theoretisch unendlich groß sein. würde da nur ein [mm] x_{2} [/mm] ohne minus stehen wäre ja klar, dass mein [mm] 10x_{3} [/mm] kleiner sein muss als 14, aber so doch nciht, oder?
Dann habe ich mich daran gemacht und die erste Gleichung nach [mm] x_{1} [/mm] aufgelöst. Hier meine Schritte:
1. [mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 8 | - [mm] 2x_{2} [/mm] & - [mm] 6x_{3}
[/mm]
2. [mm] 3x_{1} [/mm] = 8- [mm] 2x_{2} [/mm] - [mm] 6x_{3} [/mm] | /3
3. [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{8- 2x_{2} - 6x_{3}}{3}
[/mm]
Jetzt habe ich für die [mm] x_{2} [/mm] die vorher ausgestellte auflösung eingesetzt:
aber vorher habe ich das [mm] -x_{2} [/mm] durch multiplikation mit *-1 positiv gemacht, dass das so aussieht: [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -14-10x_{3}
[/mm]
4. [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{8- 2*(-14-10x_{3}) - 6x_{3}}{3}
[/mm]
5. [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{8 +28 +20x_{3} - 6x_{3}}{3}
[/mm]
6. [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{36 +14x_{3}}{3} [/mm]
nur sehe ich hier jetzt leider nicht die einzige mögliche Zahl...
Wo habe ich denn jetzt hier den Fehler gemacht?
Vielen Dank für deine Mühe
mfg,
Sebastian
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Hallo ronin1987,
> Also erstmal vielen Dank für deine Antwort.
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> Ich bin jetzt schon seit einer viertel Stunde hier am
> rumrechnen, komme leider immernoch nicht weiter, aber ich
> zeige hier mal die Schritte, vllt. kannst du ja den Fehler
> erkennen.
>
> Du hast gesagt erst die zweite Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm]
> auflösen.
>
> 1. [mm]-x_{2}-10x_{3}=14[/mm] | + [mm]10x_{3}[/mm]
> 2. [mm]-x_{2}[/mm] = [mm]14+10x_{3}[/mm]
Hier muss stehen:
[mm]-x_{2}=\red{6}+10*x_{3}[/mm]
>
> aber was genau sagt mir das jetzt? dadurch, dass [mm]x_{2}[/mm]
> negativ ist kann mein [mm]x_{3}[/mm] ja theoretisch unendlich groß
> sein. würde da nur ein [mm]x_{2}[/mm] ohne minus stehen wäre ja
> klar, dass mein [mm]10x_{3}[/mm] kleiner sein muss als 14, aber so
> doch nciht, oder?
>
> Dann habe ich mich daran gemacht und die erste Gleichung
> nach [mm]x_{1}[/mm] aufgelöst. Hier meine Schritte:
>
> 1. [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 8 | - [mm]2x_{2}[/mm] & - [mm]6x_{3}[/mm]
> 2. [mm]3x_{1}[/mm] = 8- [mm]2x_{2}[/mm] - [mm]6x_{3}[/mm] | /3
> 3. [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{8- 2x_{2} - 6x_{3}}{3}[/mm]
>
> Jetzt habe ich für die [mm]x_{2}[/mm] die vorher ausgestellte
> auflösung eingesetzt:
> aber vorher habe ich das [mm]-x_{2}[/mm] durch multiplikation mit
> *-1 positiv gemacht, dass das so aussieht: [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]-14-10x_{3}[/mm]
>
> 4. [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{8- 2*(-14-10x_{3}) - 6x_{3}}{3}[/mm]
> 5. [mm]x_{1}[/mm]
> = [mm]\bruch{8 +28 +20x_{3} - 6x_{3}}{3}[/mm]
> 6. [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{36 +14x_{3}}{3}[/mm]
>
> nur sehe ich hier jetzt leider nicht die einzige mögliche
> Zahl...
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> Wo habe ich denn jetzt hier den Fehler gemacht?
>
> Vielen Dank für deine Mühe
>
> mfg,
> Sebastian
>
>
Gruß
MathePower
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Hey Mathepower, vielen Dnak für den Hinweis, das hatte ich total übersehen.
Leider löst das das Problem nciht, denn jetzt steht bei mir zum Schluß folgendes:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{20 + 14x_{3}}{3}
[/mm]
und das ändert meine Problematik ja leider nicht,
kannst du hier noch einen Tipp zu geben?
Mfg,
Sebastian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Do 20.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest sehen, dass fuer [mm] x_3 [/mm] kein ganzer Wert kleiner als -1 in Frage kommt, sonst wuerde x1<0.
Und dann ergibt sich fuer x auch ne ganze Zahl!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Do 20.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo, bin wieder zurück.
Meine Überlegung war, dass man bei [mm] x_2=-10x_3-6[/mm] sofort sehen kann, dass für alle negativen Zahlen [mm] x_3[/mm] [mm] x_2>0[/mm] ist, wie gefordert.
Bei [mm] x_1= \frac{20+14x_3}{3}[/mm] sieht man, dass nur für [mm] x_3=-1[/mm] als neg. Ganzzahl der Zähler, und damit der Bruch, >0 wird. Also gibt es für [mm] x_1[/mm] nur einen Wert und da dieser ganzzahlig ist, hat man das einzige Lösungstripel gefunden.
Aber das ist ja jetzt schon prima gelöst worden.
Gruß, MatheOldie
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