Unter -und Oberintegrale < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Schönen Tag euch allen,
und zwar hat der Prof in Analysis mit einem neuen Thema angefangen (Riemann-Integral). Es ist eigentlich etwas was ich schon mal in der Schule gemacht habe, aber hier macht bzw. erklärt er das so abstrakt und ich komme mit folgenden Aufgentyp nicht zurecht.
Finde die Unter -und Oberintegrale für die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{wenn } x \mbox{ rational ist} \\ 0, & \mbox{wenn } x \mbox{ irrational ist} \end{cases}
[/mm]
auf dem Intervall [0,b]
Ist es das gleiche wie Unter -und Obersummen? Denn das ist zwar erklärt im Skript, aber wirklich sehr abstrakt..
Würde mich über Hilfe freuen! Habe einige von den Aufgabentypen...
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Iceman,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
So weit ich weiß, ist das Unterintegral (Oberintegral) das Supremum alle Untersummen (Infimum aller Obersummen). D.h. du kannst mit Ober- und Untersummen argumentieren. Kannst ja mal deine Ansätze zu Papier bringen und hier aufschreiben.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 17.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Hallo,
danke für den Tipp.
ich habe mir mal das so angeschaut-
Man hat bezüglich der Obersummen eigentlich den gleichen Fall wie bei g(x)=x. Das ist aber eine einfache Polynomfunktion und hat die Stammfunktion [mm] 1/2*x^2, [/mm] also ist das bestimmte Integral von 0 nach 1 über g (und f) gerade [mm] 1/2*1^2.
[/mm]
Mache ich da was falsch? Wie macht man das fürs Unterintegral ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mo 18.04.2005 | | Autor: | choosy |
moin moin, ich denka mal das das unterintegral das infimum ueber alle partitionen ueber f(x) sein soll oder?
in diesem fall nimmt man sich eine partition aus start und endpunkt und verfeinert mit irrationalen zahlen, der wert des unterintegrals ist dann 0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Hallo choosy,
reicht eine Begründung wie deine für das Unterintegral ?
Und habe ich das richtig gemacht fürs Oberintegral?
Ich bin da noch sehr unsicher bei den Begründungen, weil wir keine Rechenbeispiele haben...
Danke dir!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:23 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es ist soweit alles richtig, ich schreibe es nur noch einmal etwas formaler aus.
Für das Unterintegral gilt (da in jedem Intervall eine irrationale Zahl liegt):
[mm] $\lim\limits_{\Vert Z \Vert \to 0} \underline{S}(f,[0,b],Z)$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{\Vert Z \Vert \to 0} \sum\limits_{k=1}^n \inf\limits_x \{f(x)\, | \, x_{k-1} \le x \le x_k\} \cdot (x_k-x_{k-1})$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{\Vert Z \Vert \to 0} \sum\limits_{k=1}^n [/mm] 0$
$= 0$.
Für das Oberintegral gilt mit der Funktion $g(x)=x$ für alle $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{\Vert Z \Vert \to 0} \overline{S}(f,[0,b],Z)$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{\Vert Z \Vert \to 0} \sum\limits_{k=1}^n \sup\limits_x \{f(x)\, | \, x_{k-1} \le x \le x_k\} \cdot (x_k-x_{k-1})$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{\Vert Z \Vert \to 0} \sum\limits_{k=1}^n x_k \cdot (x_k [/mm] - [mm] x_{k-1})$
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{\Vert Z \Vert \to 0} \overline{S}(g,[0,b],Z)$
[/mm]
$= [mm] \int\limits_0^b g(x)\, [/mm] dx$
$= [mm] \frac{1}{2}b^2$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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