Unitäre Matrizen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 So 23.08.2009 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | | Sei [mm]A \in[/mm] $M$($n$,[mm]\IC[/mm]) ([mm] n \in \IN[/mm]) normal, und seien alle Eigenwerte von A vom Betrag 1. Zeigen Sie, dass [mm]A[/mm] unitär ist. Dabei sei [mm]\IC^n[/mm] mit dem kanonischen Skalarprodukt versehen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo erstmal :D
also das oben war ne klausuraufgabe bei uns, bei der ich leider 0 punkte bekommen hab. hoffentlich könnt ihr mir hier helfen wie man die richtig löst, da ich mich im moment auf die nachklausur vorbereite.
meine idee zu der aufgabe war die:
unitär bedeutet ja: [mm]\overline A^T*A = E[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]A^{-1} = A^T[/mm]
also ist ja das produkt der zwei matrizen:
[mm] $\summe_{i,j=1}^{n}$ $\overline{a}_{ji}*a_{ij}$ [/mm] und [mm] $\overline{a}_{ji}*a_{ij}$ [/mm] ist dann doch das Kronecker Delta [mm] $\delta_{ij}$, [/mm] welches ja nur 1 und 0 sein kann. auf den diagonalen bleibt dann ja eine 1 stehen und ansonsten nur nullen, eben genau die Einheitsmatrix.
Die EW der Einheitsmatrix sind offensichtlich alle 1 (nur eben nicht Betrag 1 wie es in der aufgabe verlangt wurde) und damit (dachte ich zumindest) wäre ich fertig.
Die Summe oben durfte ich ja bilden, weil [mm] $\IC$ [/mm] ja mit dem kanonischen Skalarprodukt versehen war.
gab dafür (wohl zurecht ^^) 0 punkte, nur keine ahnung wo mein fehler liegt.
danke schonmal im voraus
MfG Boris
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 So 23.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Boris!
> Sei [mm]A \in[/mm] [mm]M[/mm]([mm]n[/mm],[mm]\IC[/mm]) ([mm] n \in \IN[/mm]) normal, und seien alle
> Eigenwerte von A vom Betrag 1. Zeigen Sie, dass [mm]A[/mm] unitär
> ist. Dabei sei [mm]\IC^n[/mm] mit dem kanonischen Skalarprodukt
> versehen.
>
> hallo erstmal :D
>
> also das oben war ne klausuraufgabe bei uns, bei der ich
> leider 0 punkte bekommen hab. hoffentlich könnt ihr mir
> hier helfen wie man die richtig löst, da ich mich im
> moment auf die nachklausur vorbereite.
>
> meine idee zu der aufgabe war die:
>
> unitär bedeutet ja: [mm]\overline A^T*A = E[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]A^{-1} = A^T[/mm]
Ja. Und du sollst zeigen dass das gilt. Du hast es also noch nicht.
> also ist ja das produkt der zwei matrizen:
> [mm]\summe_{i,j=1}^{n}[/mm] [mm]\overline{a}_{ji}*a_{ij}[/mm] und
> [mm]\overline{a}_{ji}*a_{ij}[/mm] ist dann doch das Kronecker Delta
> [mm]\delta_{ij}[/mm], welches ja nur 1 und 0 sein kann. auf den
> diagonalen bleibt dann ja eine 1 stehen und ansonsten nur
> nullen, eben genau die Einheitsmatrix.
Du sollst zeigen, dass die Summe jeweils das Kroneckerdelta ist. Du weisst es noch nicht.
> Die EW der Einheitsmatrix sind offensichtlich alle 1 (nur
> eben nicht Betrag 1 wie es in der aufgabe verlangt wurde)
> und damit (dachte ich zumindest) wäre ich fertig.
Nun, die Einheitsmatrix ist auch normal und unitaer. Aber hier geht es um die Matrix $A$. Und die ist im Allgmeinen nicht die Einheitsmatrix.
> gab dafür (wohl zurecht ^^) 0 punkte, nur keine ahnung wo
> mein fehler liegt.
Du hast eine Aussage ueber eine Matrix getroffen, nach der in der Aufgabenstellung nicht gefragt war (also weder nach der Aussage noch nach der Matrix).
Wenn du die Aufgabe richtig loesen willst, beachte das normale Matrizen unitaer diagonalisierbar sind. Was bedeutet das?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Kleister |
Hallo zusammen,
ich würde diese Frage gerne nochmla aufgreifen mit meinem Lösungsansatz, jedoch bleib ich damit irgendwann hängen.
Wenn mir jemand weiterhelfen könnte wäre ich sehr dankbar ;)
Also es gilt ja ganz allgeim
[mm] Av=\lambda.v
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel [/mm] Av [mm] \parallel =\parallel \lambda.v \parallel
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel [/mm] Av [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel\lambda\parallel\parallel [/mm] v [mm] \parallel
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel [/mm] Av [mm] \parallel =\parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] , da Beträge der EW = 1
Es folgt
[mm] Av-\lambda.v=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow =0
[/mm]
[mm] \Rightarrow -<\lambda.v;Av>-+<\lambda.v;\lambda.v>=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow -<\lambda.v;Av>-+\parallel\lambda^{2}\parallel=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow -<\lambda.v;Av>-+=0 [/mm] , da Beträge der EW = 1
Soweit bin ich in der damaligen Klausur gekommen und hatte 50% der Punkte bekommen.
Nur wie geht es jetzt weiter.
Ich Nachhinein, hätte ich noch folgendes gemacht:
[mm] \Rightarrow \parallel [/mm] Av [mm] \parallel-<\lambda.v;Av>-+\parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] =0
[mm] \Rightarrow \parallel [/mm] Av [mm] \parallel-<\lambda.v;Av>-+\parallel [/mm] Av [mm] \parallel [/mm] =0 siehe oben Beding.
[mm] \Rightarrow 2\parallel [/mm] Av [mm] \parallel-<\lambda.v;Av>-=0
[/mm]
Aber wie sind nun die letzten Schritte zum Ziel?
Danke für eure Hilfe
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mi 26.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich würde diese Frage gerne nochmla aufgreifen mit meinem
> Lösungsansatz, jedoch bleib ich damit irgendwann hängen.
> Wenn mir jemand weiterhelfen könnte wäre ich sehr
> dankbar ;)
>
> Also es gilt ja ganz allgeim
>
> [mm]Av=\lambda.v[/mm]
> [mm]\Rightarrow \parallel[/mm] Av [mm]\parallel =\parallel \lambda.v \parallel[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \parallel[/mm] Av [mm]\parallel[/mm] =
> [mm]\parallel\lambda\parallel\parallel[/mm] v [mm]\parallel[/mm]
> [mm]\Rightarrow \parallel[/mm] Av [mm]\parallel =\parallel[/mm] v [mm]\parallel[/mm]
> , da Beträge der EW = 1
Ja. Du musst aber zeigen, dass [mm] $\| [/mm] A v [mm] \| [/mm] = [mm] \| [/mm] v [mm] \|$ [/mm] fuer alle $v$ gilt, nicht nur fuer Eigenvektoren.
Also nimm dir eine Basis [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] von Eigenvektoren von $A$ (warum gibt es die?), am besten eine die gleichzeitig eine Orthonormalbasis ist (warum gibt es die?). Sei [mm] $\lambda_i$ [/mm] der Eigenwert zu [mm] $v_i$.
[/mm]
Nimm dann $v = [mm] \sum_{i=1}^n \mu_i v_i$ [/mm] und berechne [mm] $\| [/mm] A v [mm] \|^2 [/mm] = [mm] \langle [/mm] A v, A v [mm] \rangle$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Kleister |
Hallo Felix,
zunächst mal vielen Dank für Deine schnelle Antwort,
ich versuche jetzt mal den Beweis zu führen mit Hilfe von deinen Tipps.
Also:
z.z <Av;Av>=<v;v>, da in diesem Fall gilt A*.A=Id und somit gezeigt ist, dass A unitär ist
[mm] \parallel [/mm] Av [mm] \parallel^{2}=
[/mm]
Wähle [mm] v_{1}...v_{n} [/mm] als ONB aus lauter EW (Existiert, da A normal ist)
Mit [mm] v=\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}v_{i} [/mm] folgt
[mm] = [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\overline{\mu_{i}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\overline{\mu_{i}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}<\lambda v_{i};\lambda v_{i}> [/mm] (da [mm] Av=\lambda.v)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{n}\overline{\mu_{i}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}\overline{\lambda}\lambda [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\overline{\mu_{i}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}\parallel\lambda\parallel^{2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\overline{\mu_{i}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i} [/mm] (da Betrag der EW =1)
[mm] =<\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}v_{i};\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}v_{i}> [/mm] = [mm] =\parallel [/mm] v [mm] \parallel^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel [/mm] Av [mm] \parallel^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel^{2} [/mm] q.e.d
Ist diese Lösung so ok???
Die Bed., dass A normal ist wird nur dazu gebraucht, dass es eine ONB aus EW gibt, oder?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:57 Do 27.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich versuche jetzt mal den Beweis zu führen mit Hilfe von
> deinen Tipps.
>
> Also:
>
> z.z <Av;Av>=<v;v>, da in diesem Fall gilt A*.A=Id und somit
> gezeigt ist, dass A unitär ist
Hattet ihr diese Aussage? Wenn nicht, nimm zwei Vektoren $v$, $w$ (beide als Linearkombination der [mm] $v_i$) [/mm] und berechne [mm] $\langle [/mm] A v, A w [mm] \rangle$ [/mm] und vergleiche es mit [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle$
[/mm]
> [mm]\parallel[/mm] Av [mm]\parallel^{2}=[/mm]
>
> Wähle [mm]v_{1}...v_{n}[/mm] als ONB aus lauter EW (Existiert, da A
> normal ist)
Genau.
> Mit [mm]v=\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}v_{i}[/mm] folgt
>
> [mm]=[/mm]
Vorsicht! Du benutzt hier beides mal den gleichen Laufindex! Das darfst du nicht!
> =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\overline{\mu_{i}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\overline{\mu_{i}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}<\lambda v_{i};\lambda v_{i}>[/mm]
> (da [mm]Av=\lambda.v)[/mm]
Vorsicht! Du kannst nicht alle Eigenwerte [mm] $\lambda$ [/mm] nennen! Du hast eventuell $n$ verschiedene!
Mit sowas musst du aufpassen, ansonsten handelst du dir schnell ziemlich viele Probleme ein.
Was soll z.B. [mm] $\sum_{i=1}^2 \sum_{i=1}^2 [/mm] i [mm] \cdot [/mm] i$ sein? $1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 2 [mm] \cdot [/mm] 2 + 2 [mm] \cdot [/mm] 2$? Oder $1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] 2 + 2 [mm] \cdot [/mm] 1 + 2 [mm] \cdot [/mm] 2$? Oder was ganz anderes?
> Ist diese Lösung so ok???
Nein. Schreib das nochmal mit den richtigen Indices auf.
> Die Bed., dass A normal ist wird nur dazu gebraucht, dass
> es eine ONB aus EW gibt, oder?
Ja.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:57 Do 27.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ein Nachtrag:
> > Die Bed., dass A normal ist wird nur dazu gebraucht, dass
> > es eine ONB aus EW gibt, oder?
Das ist sogar aequivalent dazu.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Do 27.08.2009 | | Autor: | Kleister |
Hallo Felix,
Also:
z.z <Av;Av>=<v;v>, da in diesem Fall gilt A*.A=Id und somit gezeigt ist, dass A unitär ist.
- Wir haben in den Vorlesung gezeigt das gilt A* [mm] =A^{-1} [/mm] wenn A unitär ist.
[mm] \parallel [/mm] Av [mm] \parallel^{2}=
[/mm]
Wähle [mm] v_{1}...v_{n} [/mm] als ONB aus lauter EW (Existiert, da A normal ist)
Es seien außerdem [mm] \lambda_{i} [/mm] die EW zu den EV [mm] v_{i}
[/mm]
Mit [mm] v=\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}v_{i} [/mm] folgt
[mm] = [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}\overline{\mu_{j}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}\overline{\mu_{j}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}<\lambda_{i} v_{i};\lambda_{j} v_{i}> [/mm] (da [mm] Av_{i}=\lambda_{i}v_{i})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{j=1}^{n}\overline{\mu_{j}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}\overline{\lambda_{j}}\lambda_{i} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}\overline{\mu_{j}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}\parallel\lambda\parallel^{2} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}\overline{\mu_{j}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i} [/mm] (da Betrag der EW =1)
[mm] =<\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}v_{i};\summe_{j=1}^{n}\mu_{j}v_{j}> [/mm] = [mm] =\parallel [/mm] v [mm] \parallel^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel [/mm] Av [mm] \parallel^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel^{2} [/mm] q.e.d
Ist die Lösung jetzt sauber?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Do 27.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> z.z <Av;Av>=<v;v>, da in diesem Fall gilt A*.A=Id
Warum folgt daraus [mm] $A^\ast \cdot [/mm] A = Id$?
> und somit
> gezeigt ist, dass A unitär ist.
> - Wir haben in den Vorlesung gezeigt das gilt A* [mm]=A^{-1}[/mm]
> wenn A unitär ist.
>
> [mm]\parallel[/mm] Av [mm]\parallel^{2}=[/mm]
>
> Wähle [mm]v_{1}...v_{n}[/mm] als ONB aus lauter EW (Existiert, da A
> normal ist)
> Es seien außerdem [mm]\lambda_{i}[/mm] die EW zu den EV [mm]v_{i}[/mm]
>
> Mit [mm]v=\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}v_{i}[/mm] folgt
>
> [mm]=[/mm]
> =
> [mm]\summe_{j=1}^{n}\overline{\mu_{j}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{j=1}^{n}\overline{\mu_{j}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}<\lambda_{i} v_{i};\lambda_{j} v_{i}>[/mm]
> (da [mm]Av_{i}=\lambda_{i}v_{i})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{j=1}^{n}\overline{\mu_{j}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}\overline{\lambda_{j}}\lambda_{i}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{j=1}^{n}\overline{\mu_{j}}\summe_{i=1}^{n}\mu_{i}\parallel\lambda\parallel^{2}[/mm]
Was soll [mm] $\lambda$ [/mm] sein? Was hat es mit [mm] $\lambda_i$ [/mm] und [mm] $\lambda_j$ [/mm] zu tun?
So kommst du zumindest nicht weiter. Du musst schon benutzen, dass die [mm] $v_i$ [/mm] eine Orthonormalbasis bilden.
LG Felix
|
|
|
|
