Unitär diagonalisieren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Di 19.02.2013 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich habe mal eine triviale Frage: Gegeben sei eine Matrix $S$ (in meinem Fall reell und schiefsymmetrisch der Größe 3x3 ist). Diese möchte ich gerne "unitär diagonalisieren" (über [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] versteht sich). Wie muss ich hierbei vorgehen, um die "unitäre" Transformationsmatrix zu erhalten?
Ich kenne die 3 Eigenwerte und die 3 (normierten) Eigenvektoren. Packe ich die 3 (normierten) Eigenvektoren in eine Matrix, so ist diese leider nicht unitär. Woran liegt das? Und welchen Schritt muss ich noch machen, damit die Transformationsmatrix unitär wird? Vermutlich muss jeder der (normierten) Eigenvektoren noch durch eine entsprechende (komplexe) Konstante $C$ mit $|C|=1$ transformiert werden!?
Danke
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moin,
Zuerst stellt sich natürlich die Frage, ob deine Matrix unitär diagonalisierbar ist.
Falls ja dann stehen die Eigenvektoren ja schonmal orthogonal aufeinander.
Dann musst du deine Eigenvektoren nur noch normieren, also einen Eigenvektor $v$ durch seine Norm (die von dem Standardskalarprodukt induziert wird) teilen; denn Eigenvektoren sind ja nur bis auf Vielfache bestimmt.
Sollte es damit nicht klappen so gib mal deine Matrix an, dann gucken wir wo das Problem liegt.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Di 19.02.2013 | | Autor: | Denny22 |
Hmm, dann muss ich meine Rechnung nochmals überprüfen. Denn reelle schiefsymmetrische Matrizen sind bekanntlich immer unitär diagonalisierbar (über [mm] $\mathbb{C}$)... [/mm]
Ich melde mich nochmals mit konkreten Werten, falls meine Rechnung weiterhin fehlerhaft sein sollte.
Danke für die Antwort.
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Damit keine Verwirrung entsteht:
Mit "orthogonal" meine ich bezüglich dem Standardskalarprodukt auf [mm] $\IC^n$, [/mm] das beinhaltet noch ein komplexes Konjugieren, ist also nicht das aus dem [mm] $\IR^n$.
[/mm]
Wenn du deine Matrix $U$ hast und bei [mm] $U^\* [/mm] U$ kommt bereits eine Diagonalmatrix raus (aber die Diagonalelemente stimmen ggf. nicht) dann musst du die Spalten noch normieren; wenn etwas anderes als eine Diagonalmatrix herauskommt stimmt noch etwas mit den Eigenvektoren noch nicht.
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