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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Sa 12.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $0
[mm] $a^{2}\le (\frac{2ab}{a+b})^{2}\le ab\le (\frac{a+b}{2})^{2}\le b^{2}$ [/mm] |
Hallo,
Ich fange mal hinten an:
[mm] $0\le 3b^{2}-a(a-2b)$ [/mm] ,dass das stimmt folgt aus der Voraussetzung
[mm] $\Rightarrow 0\le 3b^{2}-a^{2}-2ab$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}\le b^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (\frac{a+b}{2})^{2}\le b^{2}$
[/mm]
[mm] $0\le (a-b)^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 4ab\le a^{2}+2ab+b^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow ab\le \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow ab\le (\frac{a+b}{2})^{2}$
[/mm]
[mm] $0\le a^{3}b+ab^{3}$ [/mm] stimmt, folgt aus Voraussetzung
[mm] $\Rightarrow 2a^{2}b^{2}\le a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}+2ab+b^{2}}\le [/mm] ab$
[mm] $\Righttarow (\frac{2ab}{a+b})^{2}\le [/mm] ab$
[mm] $0\le [/mm] a(b-a)$ , stimmt folgt aus Voraussetzung
[mm] $\Rightarrow 0\le ab-a^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow a^{2}\le [/mm] ab$
[mm] $\Rightarrow a^{2}+ab \le [/mm] 2ab$
[mm] $\Rightarrow a(a+b)\le [/mm] 2ab$
[mm] $\Rightarrow a\le \frac{2ab}{a+b}$
[/mm]
[mm] $\Righttarow a^{2}\le (\frac{2ab}{a+b})^{2}
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo,
> Sei [mm]0
> Ungleichungen:
>
> [mm]a^{2}\le (\frac{2ab}{a+b})^{2}\le ab\le (\frac{a+b}{2})^{2}\le b^{2}[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> Ich fange mal hinten an:
>
> [mm]0\le 3b^{2}-a(a-2b)[/mm] ,dass das stimmt folgt aus der
> Voraussetzung
> [mm]\Rightarrow 0\le 3b^{2}-a^{2}-2ab[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}\le b^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (\frac{a+b}{2})^{2}\le b^{2}[/mm]
>
> [mm]0\le (a-b)^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow 4ab\le a^{2}+2ab+b^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow ab\le \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm]
> [mm]\Rightarrow ab\le (\frac{a+b}{2})^{2}[/mm]
>
> [mm]0\le a^{3}b+ab^{3}[/mm] stimmt, folgt aus Voraussetzung
> [mm]\Rightarrow 2a^{2}b^{2}\le a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}+2ab+b^{2}}\le ab[/mm]
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> [mm]\Righttarow (\frac{2ab}{a+b})^{2}\le ab[/mm]
>
> [mm]0\le a(b-a)[/mm] , stimmt folgt aus Voraussetzung
> [mm]\Rightarrow 0\le ab-a^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow a^{2}\le ab[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a^{2}+ab \le 2ab[/mm]
> [mm]\Rightarrow a(a+b)\le 2ab[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a\le \frac{2ab}{a+b}[/mm]
> [mm]$\Righttarow a^{2}\le (\frac{2ab}{a+b})^{2}[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
Alles gut und schön aufgeschrieben! 
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Sa 12.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
Danke!!
Gruss
kushkush
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