Ungleichungen und Beträge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Jaykop |
Hallo,
ich wollte wissen, ob das was ich gemacht habe richtig ist und ob es vollständig ist.
Die Aufgabe war:
Bestimme alle [mm] x \in \IR [/mm]
a) [mm] \left| \bruch{x+3}{2x-5} \right| > 3 [/mm]
Ich habe dann gedacht ich brauche 4 Fallunterscheidungen:
Fall 1:
[mm] \bruch{x+3}{2x-5} > 3
\gdw x+3 > 3(2x - 5)
\gdw x > -18 + 6x
\gdw x < \bruch{18}{5} [/mm]
Fall 2: [mm] \bruch{x+3}{-2x+5} > 3
...
\gdw x > \bruch{12}{7} [/mm]
ich hoffe das ist bisher richtig...
bei dem nächsten Fall stimmt etwas nicht, aber ich weis nicht was
Fall 3:[mm] \bruch{-x-3}{2x-5} > 3
\gdw x > \bruch{-x-3}{-2x-5} > 3
\gdw -x > -6x+18
\gdw x < -\bruch{12}{7} [/mm]
aus Fall 3 könnte ich x=-10 einsetzen, aber dann wäre die Ungleichung nicht erfüllt. Was habe ich falsch gemacht?
Danke.
(ach noch was, ich wollte die Äquivalenszeichen untereinander haben wie geht das?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mo 25.10.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo!
Du schreibst:
[mm] \bruch{-x-3}{2x-5} [/mm] > 3
[mm] \gdw [/mm] -x-3>6x-15 |+15 + x
[mm] \gdw [/mm] 12>7x
[mm] \gdw \bruch{12}{7} [/mm] > x
Da mußt du irgendwo nen Vorzeichenfehler drin gehabt haben! (also zumindest hoffe ich dass ich nun keinen hab  )
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Jaykop |
Danke, stimmt, da war ein vorzeichenfehler drin :/
und mal allgemein gefragt. Decke ich mit dieser Methode alle Fälle ab oder habe ich da was vergessen?
Fall 4 würde dann so aussehen, oder?
[mm] \bruch{-x-3}{-2x-5} [/mm] > 3
[mm] \gdw [/mm] -x-3 > 3 (-2x - 5)
[mm] \gdw [/mm] -x-3 > -6x - 15
[mm] \gdw [/mm] 5x > -12
[mm] \gdw [/mm] x > [mm] -\bruch{12}{5}
[/mm]
wenn ich mich nicht wieder vertan habe dann stimmt das ja nicht...
Ich bin müde, werde heute wohl nicht mehr reagieren, trotzdem danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Di 26.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Jaykop
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> Die Aufgabe war:
> Bestimme alle [mm]x \in \IR[/mm]
>
> a) [mm]\left| \bruch{x+3}{2x-5} \right| > 3[/mm]
>
> Ich habe dann gedacht ich brauche 4 Fallunterscheidungen:
>
> Fall 1:
> [mm]\bruch{x+3}{2x-5} > 3
\gdw x+3 > 3(2x - 5)
\gdw x > -18 + 6x
\gdw x < \bruch{18}{5}[/mm]
>
>
> Fall 2: [mm]\bruch{x+3}{-2x+5} > 3
...
\gdw x > \bruch{12}{7}[/mm]
>
>
> ich hoffe das ist bisher richtig...
>
> bei dem nächsten Fall stimmt etwas nicht, aber ich weis
> nicht was
>
> Fall 3:[mm] \bruch{-x-3}{2x-5} > 3
\gdw x > \bruch{-x-3}{-2x-5} > 3
\gdw -x > -6x+18
\gdw x < -\bruch{12}{7}[/mm]
>
>
> aus Fall 3 könnte ich x=-10 einsetzen, aber dann wäre die
> Ungleichung nicht erfüllt. Was habe ich falsch gemacht?
> Danke.
>
> (ach noch was, ich wollte die Äquivalenszeichen
> untereinander haben wie geht das?)
>
Ich habe den Eindruck, deine fallunterscheidungen sehen nach "auswendiggelernt" aus!
Wozu braucht es denn überhaupt deine Fallunterscheidung bei Ungleichungen?
Doch nur aus 2 Gründen:
1) weil beim Multiplizieren (oder auch Dividieren) mit einer negative Zahl das Ungleicheitszeichen umgekehrt werden muss!
2) weil allgemein gilt:
[mm] $\left| X \right| [/mm] = X$ für $ X [mm] \ge [/mm] 0$ und
[mm] $\left| X \right| [/mm] = -X$ für $X < 0$
Darum musst du so vorgehen: (Fallunterscheidung jeweils bei Bedarf, nicht von Anfang an einfach um der Fallunterscheidung wegen)
[mm] $\left| \bruch{x+3}{2x-5} \right| [/mm] > 3$
Das ist das gleiche wie
[mm] $\bruch{\left| x+3\right|}{\left| 2x-5\right|} [/mm] > 3$
Um den Bruch wegzubringen, multipliziert man mit dem Nenner. Ist der nun negativ oder positiv?
Er kann beides sein, deshalb die Fallunterscheidung
Fall I: $2x-5 > 0$
Fall II: $2x-5 < 0$
Beachte hier auch noch, dass ich nicht $2x-5 [mm] \ge [/mm] 0$ genommen habe, weil der Bruch für $2x-5 = 0$ nicht definiert ist!
Jetzt mal weiter mit Fall I:
$2x-5 > 0$ oder
$x > [mm] \bruch{5}{2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\left| x+3\right|}{2x-5} [/mm] > 3$
[mm] $\left| x+3\right| [/mm] > 3(2x-5)$
[mm] $\left| x+3\right| [/mm] > 6x-15$
So, hier ist aus dem Grund 2) eine Fallunterscheidung notwendig:
Fall Ia): $x+3 [mm] \ge [/mm] 0$
Fall Ib) $x+3 < 0$
Weiter mit Fall Ia):
$x+3 [mm] \ge [/mm] 0$ oder
$x [mm] \ge [/mm] -3$
[mm] $\left| x+3\right| [/mm] > 6x-15$
$x+3 > 6x-15$
$5x < 18$
$x < [mm] \bruch{18}{5}$
[/mm]
Jetzt haben wir also 3 Bedingungen:
$x > [mm] \bruch{5}{2}$ [/mm] (wir sind im Fall I)
$x [mm] \ge [/mm] -3$ (wir sind im Fall Ia)
$x < [mm] \bruch{18}{5}$ [/mm] (Entstand aus der Ungleichung)
Das gibt insgesamt:
[mm] $\bruch{5}{2} [/mm] < x < [mm] \bruch{18}{5}$
[/mm]
Jetzt weiter mit Fall Ib):
$x+3 < 0$ oder
$x < -3$
Hier lohnt sich ein Weiterrechnen nicht, da die beiden Bedingungen
$x > [mm] \bruch{5}{2}$ [/mm] (wir sind im Fall I)
$x < -3$ (wir sind im Fall Ib)
bereits die leere Menge liefern.
Jetzt haben wir 3 Bedingungen:
Somit weiter Mit Fall II:
$2x-5 < 0$ oder
$x < [mm] \bruch{5}{2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\left| x+3\right|}{2x-5} [/mm] > 3$
[mm] $\left| x+3\right| [/mm] < 3(2x-5)$
[mm] $\left| x+3\right| [/mm] < 6x-15$
Hier ist wieder aus dem Grund 2) eine Fallunterscheidung notwendig:
Fall IIa: $x+3 [mm] \ge [/mm] 0$
Fall IIb: $x+3 < 0$
Also weiter mit Fall IIa:
$x+3 [mm] \ge [/mm] 0$ oder
$x [mm] \ge [/mm] -3$
[mm] $\left| x+3\right| [/mm] < 6x-15$
$x+3 < 6x-15$
$5x > 18$
$x > [mm] \bruch{18}{5}$
[/mm]
Die führt zusammen mit der Bedingung für Fall II auf die leere Menge.
Somit noch Fall IIb:
$x+3 < 0$ oder
$x < -3$
[mm] $\left| x+3\right| [/mm] < 6x-15$
$-x-3 < 6x-15$
$7x > 12$
[mm] $x>\bruch{12}{7}$
[/mm]
Zusammen mit $x < -3$ führt auch das zu deiner leeren Menge, womit nur das Intervall aus Fall Ia die Lösungsmenge bildet.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Di 26.10.2004 | | Autor: | Jaykop |
Vielen dank Cremchen & Paulus,
ich werde mir das jetzt anschauen und verinnerlichen und dann die anderen Aufgaben dazu lösen.
Gruß Jaykop
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