Ungleichungen - Fallunterscheidung? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich habe doch noch eine Ungleichung entdeckt mit der ich Probleme habe. Die Aufgabenstellung lautet:
Bestimmen Sie die reelen Lösungsmengen der folgenden Betragsungleichungen:
[mm] \bruch{x-1}{x+1}<1
[/mm]
Jetzt hab ich angefangen und das umgeformt:
x-1<x+1
0<2
[mm] \IL=\emptyset
[/mm]
Jedoch ist damit in der Lösung nur der 2. Fall abgedeckt. Dort heißt es:
1. Fall: x+1>0 und x-1<x+1 [mm] \Rightarrow \IL_1=(-1,\infty)
[/mm]
2. Fall: x+1<0 und x-1>x+1 [mm] \Rightarrow \IL_2=\emptyset
[/mm]
[mm] \IL=\IL_1\cup\IL_2 [/mm] = [mm] (-1,\infty), [/mm] d.h. x>-1
Also erstmal verstehe ich hier nicht ganz warum man überhaupt eine Fallunterscheidung machen muss. Ist das nicht nur bei Betragsgleichungen nötig? Und wenn, dann kann ich mir nicht erklären wie die auf den 1. Fall kommen.
Gruß
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Mo 30.08.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Andreas!
> Bestimmen Sie die reelen Lösungsmengen der folgenden
> Betragsungleichungen:
>
> [mm]\bruch{x-1}{x+1}<1[/mm]
>
> Jetzt hab ich angefangen und das umgeformt:
>
> x-1<x+1
Diese Umformung ist aber nur im Falle $x+1>0$ richtig. Denn wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Konstante auf beiden Seiten multipliziert, dreht sich ja das Ungleichungszeichen rum.
Im Falle $x+1<0$ erhältst du
[mm] $\bruch{x-1}{x+1}<1$ $\vert\, \cdot(x+1)$
[/mm]
$x-1 > x+1$.
Schaffst du jetzt den Rest alleine? Wenn nicht, dann melde dich bitte wieder.
Liebe Grüße
Julius
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