Ungleichungen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
| Aufgabe | | Es seien positive reelle Zahlen x, y mit [mm] y² < x [/mm] gegeben. Weisen Sie nach, dass eine reelle Zahl z mit [mm] z > y [/mm] und [mm] z² < x [/mm]exsistiert. |
Hi Leute,
Ich hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe helfen. Bis jetzt habe ich mir überlegt, dass aus [mm] z > y [/mm] und [mm] x > y² [/mm] folgen muss, dass [mm] z² > y² [/mm] ist, da z auch eine postive reelle Zahl sein muss.
Daraus folgt dann [mm] y² < z² < x \to z²-y² < x - y² [/mm] , aber dann weiß ich nicht mehr so recht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 25.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Es seien positive reelle Zahlen x, y mit [mm]y² < x[/mm] gegeben.
> Weisen Sie nach, dass eine reelle Zahl z mit [mm]z > y[/mm] und [mm]z² < x [/mm]exsistiert.
>
betrachte $z = [mm] \sqrt{\frac{y^2 + x}{2}}$
[/mm]
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
Danke für deine schnelle Antwort, aber ich kann damit nicht wirklich viel anfangen. Wie biste darauf gekommen?
Ich sollte vllt auch dazu sagen, dass ich nciht wirklich die Ahnung davon habe.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 02:22 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
EDIT: die Bemerkung unten ist dumm und falsch.
leduart
Hallo
Du meinst wohl [mm] \wurzel{(x-y^2)/2}
[/mm]
nicht die Summe.
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 15:08 So 26.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo leduart,
nein ich meinte die Summe, genau so wie sie dort steht.
Mit diesem z ist die Existenz konstruktiv gezeigt, denn dieses z hat die geforderten Eigenschaften, wie sich leicht überprüfen läßt.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Will
sorry fuer meine dumme Korrektur Du hast natuerlich - wie immer- recht.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du brauchst das Archimedes axiom in der form: Wenn eine Zahl kleiner als jedes 1/n ist ist sie 0.
du hast aber [mm] 0)0
[/mm]
jetzt solltest du ein z finden, das dazwischen liegt.
man muss sich nur klar machen , dass a<b bedeutet es gibt einen Unterschied zwischen a und b, der groesser 0 ist.
man kann also zwischne a und b noch was "reinqutschen, z. bsp r/2 oder sowas.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 So 26.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
Hallo,
würde es denn nicht reichen, wenn ich von den oberen Ungleichungen herleite, das [mm] z^{2}-y^{2} < x - y^{2} [/mm] und dann einfach sage + y² und [mm] z^{2} < x [/mm] übrig bleiben würde???
und für [mm]z > y[/mm] eben dann [mm]z - x > y - x [/mm] und dann wieder +x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Beschreibung ist sehr skizzenhaft. d.h. ich versteh sie wohl nicht ganz. Du solltest das vielleicht so aufschreiben, wie dus in ner Uebung abgeben wuerdest, erst dann kann ich beurteilen, was du genau meinst.
du musst doch die Existenz eines z angeben. wenn man dafuer direkt eine methode angibt, also ne Formel die aus den Vors. folgt ist das sicher der einfachste Weg. Wie gesagt, ob dein weg richtig ist kann ich nicht beurteilen. irgendwo muesste dann auf jeden fall stehen: daraus folgt die Existenz eines z>0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 26.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
Ich habe mir einfach überlegt, dass aus y² < x, z > y und z² < x folgen muss, das x > y² > z² und das aus z > y folgen muss, weil es sich um postive reelle Zahlen handelt, z² > y² und aus den ganzen Ungleichungen kann man doch einfach die beiden Ungleichungen von mir erschließen, durch logisches Überlgen.
Nun weiß ich aber eben nicht, ob das als Beweis ausreichend ist.
wenn ich dann am ende auf z>y komme, heißt das ja ebenfalls z>0, da y nicht negativ sein kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich habe mir einfach überlegt, dass aus y² < x, z > y und
> z² < x folgen muss, das x > y² > z²
aus z>y folgt sicher nicht [mm] z^2
> und das aus z > y
> folgen muss, weil es sich um postive reelle Zahlen handelt,
> z² > y² und aus den ganzen Ungleichungen kann man doch
> einfach die beiden Ungleichungen von mir erschließen, durch
> logisches Überlgen.
falls man das durch logisches Ueberlegen hinkriegt sollte man die Ueberlegungen aufschreiben oder formalisieren koennen. "Ist doch logisch" ist sicher kein math. Argument, dazu gehoert immer denn aus .... folgt... usw.
ausserdem steht da ne falsche Ungleichung.
>
> Nun weiß ich aber eben nicht, ob das als Beweis ausreichend
> ist.
es ist einfach noch kein Beweis.
> wenn ich dann am ende auf z>y komme, heißt das ja
> ebenfalls z>0, da y nicht negativ sein kann.
Das z>0 ist nicht das Problem. dass es kein z<0 gibt ist klar!
Koeppers Idee ist die beste, du musst nur zeigen, dass sein z alle Bedingungen erfuellt
fang damit an [mm] y^2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 26.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
> Hallo
> > Ich habe mir einfach überlegt, dass aus y² < x, z > y
> und
> > z² < x folgen muss, das x > y² > z²
> aus z>y folgt sicher nicht [mm]z^2
> > und das aus z > y
> > folgen muss, weil es sich um postive reelle Zahlen handelt,
> > z² > y² und aus den ganzen Ungleichungen kann man doch
> > einfach die beiden Ungleichungen von mir erschließen, durch
> > logisches Überlgen.
Ja, sry da habe ich mich verschrieben, ich meinte [mm] x>z²>y²[/mm].
Ok, wenn du meinst, dass von Koeppert die Lösung der beste Weg ist, dann versuch ich es damit. Bloß versteh ich seinen Ansatz nicht.
y² < x , ok + x ergäbe dann nach Umformungen [mm] \bruch{y^{2}+x}{2} < x [/mm], aber was bringt mir das jetzt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
>
> y² < x , ok + x ergäbe dann nach Umformungen
> [mm]\bruch{y^{2}+x}{2} < x [/mm], aber was bringt mir das jetzt ?
Na du hast schon mal ein [mm] z^2
Da du auch noch was selbst tun willst musst du nur noch zeigen, dass auch z>y gilt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 26.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
ok, also für z > y :
y < x das mit + y wird zu [mm] y < \bruch{x+y}{2} [/mm]
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist nicht falsch, aber du willst doch [mm] z=\wurzel{(x+y^2)/2}
[/mm]
was hilft dir das dabei?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 26.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
tja, das ist ne gute frage, aber was hilft mir wenn ich sage [mm] \bruch{y^{2}+x}{2} < x [/mm]
irgendwie versteh ich den zusammenhang zwischen [mm] z² < x[/mm] und [mm]\bruch{y^{2}+x}{2} < x [/mm] nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du suchst ein z fuer das gilt z,x und [mm] z^2>y^2
[/mm]
Koepper hat dir eins angegeben.
Du hast schon gezeigt, dass fuer das z von koepper gilt [mm] z^2
jetzt musst du noch fuer dasselbe z zeigen, dass auch gilt [mm] y^2
Dazu benutzt du als Ausgang wieder das bekannte [mm] y^2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 26.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
Ok, sry aber das check ich einfach nicht...
was hat denn [mm]z = \sqrt{\frac{y^2 + x}{2}}[/mm]
mit dem [mm]\bruch{y^{2}+x}{2} < x[/mm] zu tun
kann ich für das< x in [mm]\bruch{y^{2}+x}{2} < x[/mm] einfach <z² einsetzen und die wurzel ziehen, aber warum hab ich dann bewiesen, dass z² > y² gilt?
Ich habe so einen Nachweis bis jetzt noch nie gemacht und das einzige Beispiel kam in einer Vorlesung, aber das war ziemlich anders als das hier.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
o k ich mach dir den Beweis vor.
Vors, [mm] y^2
Beh es existiert ein z mit z>y und [mm] z^2
Beweis: ich zeige, dass die reelle Zahl [mm] z=\wurzel{y^2+x)/2} [/mm] die bedingung fuer z erfuellt. dass es ne relle zahl ist ist klat.
Dazu muss ich zeigen:
1. [mm] z^2
aus [mm] y^2(y^2+x)/2
2. z>y also [mm] \wurzel{y^2+x)/2}>y
[/mm]
es gilt [mm] x>y^2 [/mm] daraus folgt [mm] x+y^2>y^2+y^2<==> (x+y^2)/2>y^2
[/mm]
da |wurzel{} eine monotone fkt ist kann ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen
also ==> [mm] \wurzel{y^2+x)/2}>y
[/mm]
Kannst du den Beweis jetzt nachvollziehen?
Kannst du dann auch sagen, woran du trotz der tips gescheitert bist?
(auch Helfer wollen lernen)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 26.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
> Hallo
> o k ich mach dir den Beweis vor.
> Vors, [mm]y^2
> Beh es existiert ein z mit z>y und [mm]z^2
> Beweis: ich zeige, dass die reelle Zahl
> [mm]z=\wurzel{y^2+x)/2}[/mm] die bedingung fuer z erfuellt. dass es
> ne relle zahl ist ist klat.
ok daran hängt es, woher weißt du, dass [mm]z=\wurzel{y^2+x)/2}[/mm] ist und nicht irgendetw. anderes
> Dazu muss ich zeigen:
> 1. [mm]z^2
> aus [mm]y^2(y^2+x)/2
>
> 2. z>y also [mm]\wurzel{y^2+x)/2}>y[/mm]
> es gilt [mm]x>y^2[/mm] daraus folgt [mm]x+y^2>y^2+y^2<==> (x+y^2)/2>y^2[/mm]
>
> da |wurzel{} eine monotone fkt ist kann ich auf beiden
> Seiten die Wurzel ziehen
> also ==> [mm]\wurzel{y^2+x)/2}>y[/mm]
>
> Kannst du den Beweis jetzt nachvollziehen?
der Beweis ist mir klar
> Kannst du dann auch sagen, woran du trotz der tips
> gescheitert bist?
wenn ich jetzt mal von dem [mm]z=\wurzel{y^2+x)/2}[/mm] absehe, bin ich nicht gleich auf die idee gekommen, den Wurzelausdruck von oben mit hilfe von x > y² zu bilden. Ich habe eben sowas in der Form noch nie bewiesen, deshalb war mir auch nicht klar wie der Beweis aussehen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 So 26.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
Achso, klar [mm]z=\wurzel{y^2+x)/2}[/mm] ist eine Zahl zwischen y² und x und z² liegt ja zwischen den beiden, ok verstanden :)
danke für die Hilfe leduart ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 So 26.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> ok daran hängt es, woher weißt du, dass [mm]z=\wurzel{y^2+x)/2}[/mm]
> ist und nicht irgendetw. anderes
die Idee besteht darin, [mm] $z^2$ [/mm] als arithmetisches Mittel zwischen [mm] $y^2$ [/mm] und x zu wählen.
Da [mm] $z^2$ [/mm] zwischen beiden liegt und [mm] $y^2 [/mm] < x$ gilt, ist dann [mm] $y^2 [/mm] < [mm] z^2 [/mm] < x$ und wegen der Positivität von y folgt y < z.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 26.10.2008 | | Autor: | Pingsuxx |
Ist das nun ein ausreichender Beweis dafür, dass z unter diesen Bedingungen exsistiert, oder nicht ( siehe Mitteilung für Lösungsweg)???
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