Ungleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Mi 22.10.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Geben Sie zu folgenden Ungleichungen die Lösungsmenge L an. Was ist der jeweilige größtmögliche Definitionsbereich D?
a, [mm] \bruch{1}{(x+1)²} \le \bruch{1}{(x-2)²} [/mm] b, [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] c, [mm] \bruch{2x}{|x+3|} \le [/mm] 5 |
Hallo Zusammen,
bei der Aufgabe a, brauche ich doch keine Fallunterscheidung, da durch das Quadrat nichts Negatives herauskommen kann? Also kann ich es so umformen:
[mm] \bruch{1}{(x+1)²} \le \bruch{1}{(x-2)²}, [/mm] D=IR \ {-1,2}
(x-2)² [mm] \le [/mm] (x+1)²
x²-4x+2 [mm] \le [/mm] x²+2x+1
-6x [mm] \le [/mm] -1
x [mm] \ge \bruch{1}{6}, L=]\bruch{1}{6}, \infty[. [/mm] Laut Lösung soll jedoch L=]2, [mm] \infty[. [/mm] Wo liegt der Fehler?
Aufgabe b,
[mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x-1}, [/mm] D=IR \ {-1,1}
1.Fall x < -1:
x-1 < x+1
0 < 2 (wahr), [mm] L_1=]- \infty, [/mm] -1[
2. Fall -1<x<1:
x-1 > x+1
0 > 2 (falsch); [mm] L_2={}
[/mm]
3.Fall x > 1:
x-1 < x+1
0 < 2 (wahr) [mm] L_3=]1, \infty[
[/mm]
L = [mm] L_1 \cup L_2 \cup L_3 [/mm] = ]- [mm] \infty, [/mm] -1[ [mm] \cup [/mm] ]1, [mm] \infty[, [/mm] Hierbei bin ich mir nicht ganz sicher, da bei Auflösung der Ungleichung jeweils das x herausfällt, es ergeben sich aber richtige Aussagen, stimmt dies so?
Aufgabe c,
[mm] \bruch{2x}{|x+3|} \le [/mm] 5, D=IR \ {-3}
Hierbei kann ich doch den Betrag unter dem Bruchstrich, als erstes auf die rechte Seite holen, damit die Fallunterscheidung für die Ungleichung entfällt, oder?
2x [mm] \le [/mm] 5 [mm] \cdot{} [/mm] |x+3|
Nun eine Fallunterscheidung für die Betragsstriche:
1.Fall x+3 > 0 für x > -3
2x [mm] \le [/mm] 5 [mm] \cdot{} [/mm] (x+3)
-3x [mm] \le [/mm] 15
x [mm] \ge [/mm] -5, [mm] L_1= [/mm] ]-3 , [mm] \infty[
[/mm]
2.Fall x+3 < 0 für x < -3
2x [mm] \le [/mm] 5 [mm] \cdot{} [/mm] -(x+3)
7x [mm] \le [/mm] -15
x [mm] \le -\bruch{15}{7}, L_2=]- \infty, [/mm] -3[
L= ]- [mm] \infty, [/mm] -3[ [mm] \cup [/mm] ]-3 , [mm] \infty[ [/mm] = D
Stimmt diese Lösung?
Gruß,
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mi 22.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie zu folgenden Ungleichungen die Lösungsmenge L an.
> Was ist der jeweilige größtmögliche Definitionsbereich D?
>
> a, [mm]\bruch{1}{(x+1)²} \le \bruch{1}{(x-2)²}[/mm] b,
> [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm] c, [mm]\bruch{2x}{|x+3|} \le[/mm]
> 5
> Hallo Zusammen,
>
> bei der Aufgabe a, brauche ich doch keine
> Fallunterscheidung, da durch das Quadrat nichts Negatives
> herauskommen kann? Also kann ich es so umformen:
>
> [mm]\bruch{1}{(x+1)²} \le \bruch{1}{(x-2)²},[/mm] D=IR \ {-1,2}
>
> (x-2)² [mm]\le[/mm] (x+1)²
>
> x²-4x+2 [mm]\le[/mm] x²+2x+1
Schau Dir die binomischen Formeln noch mal an!
(x-2)² = [mm] x^2-4x+4
[/mm]
>
> -6x [mm]\le[/mm] -1
>
> x [mm]\ge \bruch{1}{6}, L=]\bruch{1}{6}, \infty[.[/mm] Laut Lösung
> soll jedoch L=]2, [mm]\infty[.[/mm] Wo liegt der Fehler?
Ich bekomme [mm] x\ge [/mm] 1/2
FRED
>
>
>
> Aufgabe b,
>
> [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{x-1},[/mm] D=IR \ {-1,1}
>
> 1.Fall x < -1:
>
> x-1 < x+1
> 0 < 2 (wahr), [mm]L_1=]- \infty,[/mm] -1[
>
> 2. Fall -1<x<1:
>
> x-1 > x+1
> 0 > 2 (falsch); [mm]L_2={}[/mm]
>
> 3.Fall x > 1:
>
> x-1 < x+1
> 0 < 2 (wahr) [mm]L_3=]1, \infty[[/mm]
>
> L = [mm]L_1 \cup L_2 \cup L_3[/mm] = ]- [mm]\infty,[/mm] -1[ [mm]\cup[/mm] ]1,
> [mm]\infty[,[/mm] Hierbei bin ich mir nicht ganz sicher, da bei
> Auflösung der Ungleichung jeweils das x herausfällt, es
> ergeben sich aber richtige Aussagen, stimmt dies so?
>
>
>
> Aufgabe c,
>
> [mm]\bruch{2x}{|x+3|} \le[/mm] 5, D=IR \ {-3}
>
> Hierbei kann ich doch den Betrag unter dem Bruchstrich, als
> erstes auf die rechte Seite holen, damit die
> Fallunterscheidung für die Ungleichung entfällt, oder?
>
> 2x [mm]\le[/mm] 5 [mm]\cdot{}[/mm] |x+3|
>
> Nun eine Fallunterscheidung für die Betragsstriche:
>
> 1.Fall x+3 > 0 für x > -3
>
> 2x [mm]\le[/mm] 5 [mm]\cdot{}[/mm] (x+3)
> -3x [mm]\le[/mm] 15
> x [mm]\ge[/mm] -5, [mm]L_1=[/mm] ]-3 , [mm]\infty[[/mm]
>
>
> 2.Fall x+3 < 0 für x < -3
>
> 2x [mm]\le[/mm] 5 [mm]\cdot{}[/mm] -(x+3)
> 7x [mm]\le[/mm] -15
> x [mm]\le -\bruch{15}{7}, L_2=]- \infty,[/mm] -3[
>
> L= ]- [mm]\infty,[/mm] -3[ [mm]\cup[/mm] ]-3 , [mm]\infty[[/mm] = D
>
> Stimmt diese Lösung?
>
> Gruß,
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 22.10.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
ich war mal wieder blind, natürlich muss es so lauten:
(x-2)² = x²-4x+4 und ich erhalte auch x [mm] \ge [/mm] 0,5
Jedoch steht in der Lösung L=]2, [mm] \infty[, [/mm] was ja bedeutet, alle Zahlen größer als 2 und nicht größer oder gleich 2. Stimmt dann die Lösung im Buch nicht?
Wie sieht es mit meinen anderen beiden Lösungen für Aufgabe b und c aus, stimmen diese?
Danke,
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 22.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich war mal wieder blind, natürlich muss es so lauten:
>
> (x-2)² = x²-4x+4 und ich erhalte auch x [mm]\ge[/mm] 0,5
>
> Jedoch steht in der Lösung L=]2, [mm]\infty[,[/mm] was ja bedeutet,
> alle Zahlen größer als 2 und nicht größer oder gleich 2.
> Stimmt dann die Lösung im Buch nicht?
Wir müssen etwas genauer sein. Der Def. -bereich war [mm] \IR [/mm] \ {-1,2}. Daher ist die Lösungsmenge = [mm] [\bruch{1}{2},2) \cup [/mm] (2, [mm] \infty)
[/mm]
Die Lösung im Buch stimmt nicht. Du siehst z.B. durch einsetzen, dass 1 die Ungleichung erfüllt.
FRED
>
> Wie sieht es mit meinen anderen beiden Lösungen für Aufgabe
> b und c aus, stimmen diese?
>
> Danke,
> itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mi 22.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Loesung im Buch ist unvollstaendig.
da die 2 nicht im def. gebiet liegt, kannst du die loesungsmenge auch nicht als [mm] [0,5,\infty[ [/mm] schreiben, sondern [0,5,2[ [mm] +[2,\infty] [/mm] dass die im buch falsch ist wenn nur der zweite Teil da steht, sieht man leicht, wenn du etwa in der urspruenglichen Ungleichung x=1 einsetzt. Dann ist sie erfuellt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 22.10.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
vielen Dank für die Antworten, dennoch wüsste ich sehr gerne, ob die Aufgaben b und c stimmen?
Gruß
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mi 22.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
c und d sind richtig, bei d wuerd ich schreiben L=D
Gruss leduart
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