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| Aufgabe | | Es seien a,b >0 und 0<p<1. Man zeige [mm] (a+b)^{p} \le a^{p} [/mm] + [mm] b^{p} [/mm] |
Hallo ich soll folgende Aufgabe lösen, leider fehlt mir eine Idee, wie ich diese Aufgabe angehen könnte.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Lg Tanja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mo 23.04.2007 | | Autor: | DirkG |
Hallo Tanja,
zunächst mal kannst du die Ungleichung durch [mm] $a^p$ [/mm] dividieren, da steht dann
[mm] $$(1+x)^p \leq [/mm] 1 + [mm] x^p$$
[/mm]
mit [mm] $x=\frac{b}{a}$. [/mm] Wenn du also diese Ungleichung für alle positiven $x$ beweist, bist du fertig. Eine Möglichkeit dazu ist z.B. die Betrachtung der Funktion
$$f(x) = [mm] (1+x)^p [/mm] - [mm] x^p-1, \qquad x\geq [/mm] 0 [mm] \quad [/mm] .$$
Für die gilt $f(0)=0$ sowie $f'(x) = [mm] p\cdot \left[ (1+x)^{p-1} - x^{p-1} \right]$ [/mm] ... mehr verrate ich erstmal nicht.
Gruß,
Dirk
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Hallo ich versteh den ersten schritt nicht,wie kann ich denn in der klammer durch [mm] a^{p} [/mm] teilen?
lg tanja
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mo 23.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Potenzgesetze:
[mm] u^p*v^p0=(uv)^p
[/mm]
[mm] (1/a)^p*(a+b)^p=(1/a(a+b))^p=(1+b/a)^p
[/mm]
alles klar? das musst du im Schlaf und ohne den Umweg können!
Gruss leduart
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