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Hallo Mathegenies!!!!!!!!!
Ich hoffe, dass mir jemand auf diesem Gebiet " Ungleichungen" helfen kann. Da ich das zum ersten Mal mache, würde ich mich riesig über konstruktive Kritik freuen(z.B. wie ich die Fragen stellen soll, Formeln ausdrücken usw.)
Es ist zwar nur ein kleines Problem, aber ich brauche ja auch nur einen Ansatz.
|x-3|/x+1 < x+3 lautet meine Ungleichung.
Ich soll nun untersuchen, welche reelen Zahlen diese Ungleichung erfüllen.
Mein erster Gedanke war, dass ich alles quadriere und es dann löse. Jedoch habe ich mich verrechnet oder einfach total vertan.
Was meint ihr dazu?
Ich würde mich total auf eine Antwort freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Do 14.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Florian! (Ich bin's Hanno, erinnerst du dich noch?  )
Ich würde hier eine Fallunterscheidung durchführen.
Sei [mm] $x\geq3$, [/mm] so soll gelten:
[mm] $\frac{x-3}{x+1}
[mm] $x-3<(x+3)(x+1)=x^2+4x+3$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+3x+6>0$
[/mm]
Diese Funktion hat keine Nullstelle und ist für $x=0$ schön größer als Null. Folglich ist liegt sie vollständig im Positiven bereich, was die Gleichung fordert. Daher ist für [mm] $x\geq [/mm] 3$ die Ungleichung erfüllt.
Im zweiten Fall ist $x<3$, $x-3$ ist also kleiner als Null und kann durch Multiplikation mit $-1$ ins Positive gespiegelt werden, was die Betragstriche sonst übernommen hätten:
[mm] $\frac{-(x-3)}{x+1}
Nun musst du aufpassen und eine weitere Fallunterscheidung durchführen. Ist nämlich $x+1$ kleiner als Null (bei der ersten Fallunterscheidung mussten wir darauf nicht achten, da $x>0$ war), so musst du bei Multiplikation mit $x+1$ das $<$ zum $>$ umkehren. Nehmen wir also an, dass $x<-1$ gilt, dann folgt:
[mm] $\gdw [/mm] 3-x>(x+1)(x+3)$
[mm] $\gdw 3-x>x^2+4x+3$
[/mm]
[mm] $\gdw 0>x^2+5x$
[/mm]
Die Funktion [mm] $x^2+5x$ [/mm] ist für $x$ im Intervall $]-5;0[$ kleiner als Null. Da wir $x<-1$ angenommen haben gilt die Ungleichung für alle $x$ im Intervall $]-5;-1[$
Nun muss noch das Intervall $]-1;3[$ geprüft werden. Dort müssen wir das $<$ nicht umkehren, sondern erhalten:
[mm] $\frac{3-x}{x+1}
[mm] $\gdw 3-x
[mm] $\gdw x^2+5x>0$
[/mm]
Dies ist für die $x$ richtig, die kleiner als $-5$ oder größer als $0$ sind. Wir betrachten allerdings nur den Bereich von -1 bis 3 und somit sehen wir, dass die Ungleichung für den Bereich 0 bis 3 gilt.
Wir kommen also zu folgendem Endergebnis.
Die Ungleichung ist für alle $x$ korrekt, welche im Intervall $]-5;-1[$ oder im Intervall [mm] $]0;-\infty[$ [/mm] liegen.
Liebe Grüße,
Hanno
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