Ungleichung mit zwei Beträgen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Do 25.02.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Ungleichung:
[mm] | x^2 + 2x - 1| \le |x| [/mm] |
Also ich müsste ja theoretisch mit 4 verschiedenen Fällen arbeiten und alles dann ausrechnen. Allerdings halte ich dies für verdammt mühsam.
Gibt es da nicht einen anderen weg?
Ich habe die Graphen mal geplottet und bin der Auffassung, dass die Lösungsmenge alle x-Werte sind, für die die Betragsfunktion der Parabel unterhalb der Betragsfunktion der Geraden ist.
Man müsste also die Schnittpunkte ausrechnen. Aber in einer Klausur hat man ja keinen Plotter zur Hand... deswegen weiß man ja nicht wie die Funktionen aussehen würden.
Gibt es irgendwie eine Möglichkeit sich die mühsame Fallunterscheidung zu sparen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Do 25.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Vergiss all das, was ich dir bisher geschrieben habe, ich hab nen Minuszeichen verschlürt.
Du musst hier tatsächlich die Nullstellen der Parabel ermitteln.
Diese sind hier [mm] -1\pm\wurzel{2}
[/mm]
Da die parabel nach oben offen ist, ist [mm] x^{2}+2x-1 [/mm] zwischen den Nullstellen <0, also gilt:
für [mm] x<-1-\wurzel{2} [/mm] ist [mm] x^{2}+2x-1>0 [/mm] also [mm] |x^{2}+2x-1|=x^{2}+2x-1
[/mm]
für [mm] x>-1+\wurzel{2} [/mm] ist [mm] x^{2}+2x-1>0 [/mm] also [mm] |x^{2}+2x-1|=x^{2}+2x-1
[/mm]
für [mm] -1-\wurzel{2}
Jetzt musst du nur noch die rechte Seite bearbeiten, da kommt eine Weitere Fallunterscheidung dazu, nämlich x>/<0
Also betrachte die Vier Fälle:
1: $ [mm] x<-1-\wurzel{2} [/mm] $
2: $ [mm] -1-\wurzel{2}
3: $ [mm] 0
4: $ [mm] x>-1+\wurzel{2} [/mm] $
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 25.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Nutze hier die Tatsache, dass
>
> [mm]x^{2}+2x-1[/mm]
> [mm]=-(x^{2}-2x+1)[/mm]
> [mm]=-(x-1)^{2}[/mm]
Mit Verlaub, aber das stimmt hinten und vorne nicht
FRED
>
> Und, da [mm]-(x-1)^{2}\le0 \forall x\in\IR,[/mm] gilt:
>
> [mm]=\left|-(x-1)^{2}\right|=-\left(-(x-1)^{2}\right)=(x-1)^{2}[/mm]
>
> Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Do 25.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Fred.
Danke für den Tipp, Loddar hat mit es auch gerade gesteckt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Do 25.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> Hallo
>
> Nutze hier die Tatsache, dass
>
> [mm]x^{2}+2x-1[/mm]
> [mm]=-(x^{2}-2x+1)[/mm]
> [mm]=-(x-1)^{2}[/mm]
$\ [mm] x^{2}+2x-1 [/mm] = [mm] -(\red{-}x^2-2x+1) [/mm] $, oder nicht?
>
> Und, da $\ [mm] -(x-1)^{2}\le0 \forall x\in\IR,$ [/mm] gilt:
>
> [mm]=\left|-(x-1)^{2}\right|=-\left(-(x-1)^{2}\right)=(x-1)^{2}[/mm]
>
> Marius
Gruß
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Do 25.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Danke an alle Hinweisgeber, ich habe den Fehler verbessert, ich hatte tatsächlich ein - verschludert.
Marius
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