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| Aufgabe | Zz: Für alle x [mm] \in [0,\bruch{\pi}{2}]gilt [/mm] :
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] x [mm] \le [/mm] sin(x) |
Hallo zusammen :)
Normalerweise würde ich so eine Aufgabe versuchen mit dem Zwischenwertsatz zu lösen.
Normalerweise würde ich solche Aufgaben mit Hilfe des Zwischenwertsatzes und der Monotonie versuchen.
Nur leider ist die Funktion auf diesem bereich egal wie man sie umstellt nicht monoton und da 0 als Grenze schon die Nullstelle ist, ist es ebenfalls schwer den ZWS anzuwenden.
Gibt es noch andere Herangehensweisen?
Vielen lieben Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Sa 07.05.2016 | | Autor: | abakus |
Der Graph der Sinusfunktion ist im Intervall von 0 bis [mm] $\pi/2$ [/mm] rechtsgekrümmt und liegt damit dort komplett oberhalb der Sehne zwischen den Punkten (0|0) und [mm] ($\pi/2$ [/mm] |1). Diese Sehne hat den Anstieg [mm] $2/\pi$, [/mm] und das ist sogar größer als 0,5.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 So 08.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Zz: Für alle x [mm]\in [0,\bruch{\pi}{2}]gilt[/mm] :
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> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x [mm]\le[/mm] sin(x)
> Hallo zusammen :)
>
> Normalerweise würde ich so eine Aufgabe versuchen mit dem
> Zwischenwertsatz zu lösen.
>
> Normalerweise würde ich solche Aufgaben mit Hilfe des
> Zwischenwertsatzes und der Monotonie versuchen.
> Nur leider ist die Funktion auf diesem bereich egal wie
> man sie umstellt nicht monoton und da 0 als Grenze schon
> die Nullstelle ist, ist es ebenfalls schwer den ZWS
> anzuwenden.
>
> Gibt es noch andere Herangehensweisen?
>
> Vielen lieben Dank!
>
Wir können x>0 annehmen. Sei also stets $x [mm] \in (0,\bruch{\pi}{2}]$.
[/mm]
Zeige , mit Taylor: es gibt ein t [mm] \in [/mm] [0,x] mit
[mm] $sin(x)=x-\bruch{x^3}{6}+x^4*sin(t)$.
[/mm]
Überlege Dir, dass dann
$sin(x) [mm] \ge x-\bruch{x^3}{6}$
[/mm]
folgt.
Nun zeige noch:
[mm] $x-\bruch{x^3}{6} \ge \bruch{1}{2}x$
[/mm]
FRED
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