Ungleichung mit Exp < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Sa 12.10.2013 | | Autor: | Aegon |
| Aufgabe | | [mm] |\frac{e^{ixn}-1}{e^{ix}-1}| \leq \frac{2}{|e^{ix/2}-e^{-ix/2}|} , x \in(0,2\pi),n\in \mathbb{N}[/mm] |
Ich bin auf diese Ungleichung in einem Buch gestoßen und weiß nicht, wie man zu dieser kommt.
Meine Vermutung war durch [mm]e^{\frac{ix}{2}}[/mm] zu dividieren, damit komme ich auf
[mm] \left| \frac{ e^{ixn-\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}} \right| = \left| \frac{e^{ix*(n-\frac{1}{2})}-e^{\frac{-ix}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}}}\right|[/mm].
Somit passt zumindest der Nenner, wie komme ich jetzt aber auf die 2 im Zähler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Aegon,
> [mm]|\frac{e^{ixn}-1}{e^{ix}-1}| \leq \frac{2}{|e^{ix/2}-e^{-ix/2}|} , x \in(0,2\pi),n\in \mathbb{N}[/mm]
>
> Ich bin auf diese Ungleichung in einem Buch gestoßen und
> weiß nicht, wie man zu dieser kommt.
> Meine Vermutung war durch [mm]e^{\frac{ix}{2}}[/mm] zu dividieren,
> damit komme ich auf
> [mm]\left| \frac{ e^{ixn-\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}} \right| = \left| \frac{e^{ix*(n-\frac{1}{2})}-e^{\frac{-ix}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}}}\right|[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Somit passt zumindest der Nenner, wie komme ich jetzt aber
> auf die 2 im Zähler?
1. Wende auf den Zähler die Dreiecksungleichung für den Betrag an.
2. Nutze aus, dass [mm] $|e^{iy}|=1$ [/mm] für alle [mm] $y\in\IR$ [/mm] gilt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Sa 12.10.2013 | | Autor: | Aegon |
Danke für die schnelle Antwort :)
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