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| Aufgabe | Zu lösen war die Ungleichung
[mm] \bruch{1}{x}<\bruch{1}{x+1} [/mm] |
Hallo Leute,
und zwar verstehe ich den folgenden Lösungsweg nicht wirklich.
In der Schule hatte ich mit solchen Aufgaben nie zu tun.
Und zwar ging mein Prof so vor.
[mm] \bruch{1}{x}<\bruch{1}{x+1} [/mm] // *x(x+1)
1. Fall: x>0
x+1<x Widerspruch
2. Fall: x<-1
x+1<x Widerspruch
3. Fall -1<x<0
x+1>x richtig.
[mm] {x\in\IR|-1
[mm] D=\IR [/mm] \ {-1;0}
Das Druchmultiplizieren mit x(x+1) zum Vereinfachen verstehe ich.
Auch den Definitionsbereich kann ich nachvollziehen, da die Brüche nicht 0 ergeben dürfen.
Aber die Folgerungen der einzlenen Fälle kann ich nicht nachvollziehen.
Beim ersten Fall ist es noch recht einleuchtend, dass bei jedem x>0 die linke Seite der Ungleichung x+1 < x nicht kleiner als die rechte ist. Und deshalb der Widerspruch.
Der 2. Fall ist auch ok, dass bei jedem x < -1 [/b]nicht[b] x+1<x gilt, sondern immer x+1>x richtig ist.
Aber warum wird beim 3.Fall von x+1<x nach x+1>x gewechselt?!
Ich meine, man hätte auch beim 1. und 2. Fall einfach x+1>x statt x+1<x hinschreiben können und folgern dass es stimmt.
Kann mir das jemand vielleicht "besser" erklären?
Der Prof hat es echt "so einfach" hingeschrieben...
Vielen Vielen Dank!!!
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Hallo Prinzessin!
> Zu lösen war die Ungleichung
> [mm]\bruch{1}{x}<\bruch{1}{x+1}[/mm]
> Hallo Leute,
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> und zwar verstehe ich den folgenden Lösungsweg nicht
> wirklich.
> In der Schule hatte ich mit solchen Aufgaben nie zu tun.
>
> Und zwar ging mein Prof so vor.
>
> [mm]\bruch{1}{x}<\bruch{1}{x+1}[/mm] // *x(x+1)
>
> 1. Fall: x>0
> x+1<x Widerspruch
>
> 2. Fall: x<-1
> x+1<x Widerspruch
>
> 3. Fall -1<x<0
> x+1>x richtig.
>
> [mm]{x\in\IR|-1
> [mm]D=\IR[/mm] \ {-1;0}
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> Das Druchmultiplizieren mit x(x+1) zum Vereinfachen
> verstehe ich.
> Auch den Definitionsbereich kann ich nachvollziehen, da
> die Brüche nicht 0 ergeben dürfen.
>
> Aber die Folgerungen der einzlenen Fälle kann ich nicht
> nachvollziehen.
> Beim ersten Fall ist es noch recht einleuchtend, dass bei
> jedem x>0 die linke Seite der Ungleichung x+1 < x nicht
> kleiner als die rechte ist. Und deshalb der Widerspruch.
>
> Der 2. Fall ist auch ok, dass bei jedem x < -1 [/b]nicht x+1<x
> gilt, sondern immer x+1>x richtig ist.
>
> Aber warum wird beim 3.Fall von x+1<x nach x+1>x
> gewechselt?!
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> Ich meine, man hätte auch beim 1. und 2. Fall einfach x+1>x
> statt x+1<x hinschreiben können und folgern dass es
> stimmt.
>
> Kann mir das jemand vielleicht "besser" erklären?
> Der Prof hat es echt "so einfach" hingeschrieben...
>
>
> Vielen Vielen Dank!!!
Die Sache ist ganz einfach, und zwar ist es so, dass man bei einer Ungleichung aufpassen muss, ob man mit etwas Positivem oder etwas Negativem multipliziert. Wenn man nämlich mit etwas Negativem multiplizierst, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Warum das so ist, ist mir leider gerade entfallen, aber ich glaube es gab eine recht einfache Erklärung dazu. Das heißt also, wenn du deine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst, so steht dort nicht mehr "<" sondern ">". Und deshalb wird auch die Fallunterscheidung so gemacht, wie dein Prof es gemacht hat. Für den Fall, dass x>0 oder x<-1 ist, ist das, womit du multiplizierst, immer positiv. Deswegen bleibt das Ungleichheitszeichen so, wie es ist. Im 3. Fall aber multiplizierst du mit etwas Negativem, also dreht sich das Zeichen. 
Alles klar? So etwas habe ich allerdings schon auf der Schule gelernt. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
vielen Dank für deine Hilfe.
Die Regel, dass wenn bei einer Ungleichung negativ dividiert oder multipliziert wird, das Zeichen < bzw. > umgedreht wird, kenne ich.
Ich dachte aber erst, wenn ich z.B. bei der Umformung negativ multipliziere bzw. dividiere.
Weil ich forme ja bei x+1<x nicht um, sondern setze ein und schaue obs stimmt.
Und beim 2. Fall ist ja x<-1, also müsste sich das auch umdrehen und nicht widersprechen?!
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Hallo!
> Ich dachte aber erst, wenn ich z.B. bei der Umformung
> negativ multipliziere bzw. dividiere.
> Weil ich forme ja bei x+1<x nicht um, sondern setze ein
> und schaue obs stimmt.
Ich verstehe nicht, was du meinst. Es kommt darauf an, ob das, womit du multiplizierst, positiv oder negativ ist. Hier also auf $x(x+1)$. Und das ist genau dann negativ, wenn gilt: $-1<x<0$.
Viele Grüße
Bastiane
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Vielen Dank auch dir für die Tipps!
Hab die Aufgabe jetzt verstanden. Davor habe ich gedacht, dass man die Multiplikation x(x+1) nicht braucht und die Zahlen wie verrückt nur in x+1<x usw. eingesetzt....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mi 11.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Prinzessin
> Zu lösen war die Ungleichung
> [mm]\bruch{1}{x}<\bruch{1}{x+1}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{x}<\bruch{1}{x+1}[/mm] // *x(x+1)
Fallunterscheidung: man multiplziert mit was positivem, wenn BEIDE Faktoren pos sind UND wenn beide negativ sind. a)wenn x>0 dann auch x+1>0 also positiver Multiplikator.
Wenn x<0 aber x+1>0 also x>-1 und x<0 dann ist der Multiplikator negativ,
3. Fall Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
x+1<0 dann auch x<0 beide positiv, Multiplikator positiv, größer Zeichen bleibt!
Beispiel 1<2 mal 2*3 folgt 6<12 1<2 mal (-2)*3 folgt NICHT -6<-12 sondern -6>-12 1<2 *(-2)*(-3) wieder richtig 6<12
Gruss leduart
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
habe es jetzt verstanden.
Aber mit denen Beispielen kann ich zur Zeit nicht viel anfangen, weil ich nicht weiß auf welchen Fall sie sich genau beziehen.
Aber grundsätzlich weiß ich jetzt, warum der 3. Fall richtig ist.
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