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Ungleichung mit Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Mo 08.10.2007
Autor: celeste16

Aufgabe
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] gilt die Ungleichung [mm] \vmat{ 3-\vmat{ x^{2}-1 } } [/mm] > 2?

Ich schaffe es einfach nicht. Ich komme wenn es um beträge geht andauernd durcheinander und dachte ich versuche es einfach noch einmal. Wäre nett wenn ihr drüberschauen würdet und mir meine Fehler sagt (bzw. wenn ihr ein grundlegenden "problem" erkennt dann weißt mich bitte darauf hin).

Ich mache die aufgaben mal so wie ich es in alten übungsgruppen gesehen habe, mal sehen ob ich ankomme

1. [mm] 3-\vmat{ x^{2}-1 }\ge [/mm] 0
1.1
[mm] (x^{2}-1)\ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x\ge [/mm] 1 [mm] \wedge x\le [/mm] -1
[mm] 3-x^{2}+1 \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x^{2}<4 \Rightarrow [/mm] -2<x<2 [mm] \Rightarrow 1\le [/mm] x<2 [mm] \wedge -2
[mm] 3-x^{2}+1 [/mm] = [mm] 4-x^{2}>2 \Rightarrow x^{2}<2 \Rightarrow x<\wurzel{2} \wedge x>-\wurzel{2} \Rightarrow x\in[1,\wurzel{2})\cup x\in(-\wurzel{2},-1] [/mm]

1.2  
[mm] (x^{2}-1)<0 \Rightarrow [/mm] -1<x<1
[mm] 3+x^{2}-1=2+x^{2} \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x\in \IR \Rightarrow [/mm] -1<x<1

[mm] 3-(-x^{2}+1)=2+x^{2}>2\Rightarrow x^{2}>0 \Rightarrow x\in \IR \Rightarrow x\in(-1,1) [/mm]

2. [mm] 3-\vmat{ x^{2}-1 }< [/mm] 0

2.1
[mm] (x^{2}-1)\ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x\ge [/mm] 1 [mm] \wedge x\le [/mm] -1
[mm] x^{2}-1-3=x^{2}-4<0 \Rightarrow x^{2}<4 \Rightarrow [/mm] -2<x<2 [mm] \Rightarrow 1\le [/mm] x<2 [mm] \wedge -2
[mm] x^{2}-4>2 \Rightarrow x^{2}>6 \Rightarrow x<-\wurzel{6} \wedge x>\wurzel{6} \Rightarrow [/mm] Widerspruch

2.2  
[mm] (x^{2}-1)<0 \Rightarrow [/mm] -1<x<1
[mm] -3-x^{2}+1=-2-x^{2}<0 \Rightarrow x^{2}>-2 \Rightarrow x\in \IR \Rightarrow [/mm] -1<x<1

[mm] -2-x^{2}>2\Rightarrow x^{2}<-4 \Rightarrow [/mm] dafür existiert kein [mm] x\in \IR [/mm]


[mm] \Rightarrow L={(-1,1)\cup[1,\wurzel{2})\cup(-\wurzel{2},-1]}={(-\wurzel{2},\wurzel{2})} [/mm]

So, geschafft. lasst bitte eure kritikstürme auf mich los, ich werd noch verrückt mit diesen rechnungen!

        
Bezug
Ungleichung mit Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Mo 08.10.2007
Autor: Zwerglein

Hi, celeste,

Sch...  äh schöne Aufgabe!

  > Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt die Ungleichung [mm]\vmat{ 3-\vmat{ x^{2}-1 } }[/mm]  > 2?

> Ich mache die aufgaben mal so wie ich es in alten
> übungsgruppen gesehen habe, mal sehen ob ich ankomme
>  
> 1. [mm]3-\vmat{ x^{2}-1 }\ge[/mm] 0
>  1.1
> [mm](x^{2}-1)\ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow x\ge[/mm] 1 [mm]\wedge x\le[/mm] -1

Muss heißen: x [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \vee [/mm] x [mm] \le [/mm] -1.

>  [mm]3-x^{2}+1 \ge[/mm] 0  <=> [mm] x^{2}<4 [/mm]

[mm] x^{2} \le [/mm] 4

>  -2<x<2

Und dann eben: -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2.

> [mm]\Rightarrow 1\le[/mm] x<2 [mm]\wedge -2

Richtig wäre: 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2  [mm] \vee [/mm]  -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -1.
  

> [mm]3-x^{2}+1[/mm] = [mm]4-x^{2}>2 \Rightarrow x^{2}<2 \Rightarrow x<\wurzel{2} \wedge x>-\wurzel{2} \Rightarrow x\in[1,\wurzel{2})\cup x\in(-\wurzel{2},-1][/mm]

Auch hier: [mm] \vee [/mm] statt [mm] \wedge [/mm] - sonst OK!
  

> 1.2  
> [mm](x^{2}-1)<0 \Rightarrow[/mm] -1<x<1
>  [mm]3+x^{2}-1=2+x^{2} \ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow x\in \IR \Rightarrow[/mm]
> -1<x<1
>  
> [mm]3-(-x^{2}+1)=2+x^{2}>2\Rightarrow x^{2}>0 \Rightarrow x\in \IR \Rightarrow x\in(-1,1)[/mm]

Halt! Aufpassen! Aus [mm] x^{2} [/mm] > 0 folgt NICHT x [mm] \in \IR, [/mm] sondern nur:
x [mm] \in \IR [/mm] \ {0}

Daher Endergebnis für Fall 1.2: x [mm] \in [/mm] (-1 ; 1) \ {0} !
  

> 2. [mm]3-\vmat{ x^{2}-1 }<[/mm] 0
>  
> 2.1
> [mm](x^{2}-1)\ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow x\ge[/mm] 1 [mm]\wedge x\le[/mm] -1

Nicht [mm] \wedge [/mm] sondern [mm] \vee [/mm] (analog 1.1)

>  [mm]x^{2}-1-3=x^{2}-4<0 \Rightarrow x^{2}<4 \Rightarrow[/mm] -2<x<2

Was'n nu kaputt? Bei 1.1 hast Du's doch noch richtig gemacht!
3 - [mm] x^{2} [/mm] + 1 < 0   <=>  [mm] x^{2} [/mm] > 4   => x > 2  [mm] \quad \vee [/mm]  x < -2

> [mm]\Rightarrow 1\le[/mm] x<2 [mm]\wedge -2

Nö; stattdesssen: x > 2 [mm] \vee [/mm] x < -2
  

> [mm]x^{2}-4>2 \Rightarrow x^{2}>6 \Rightarrow x<-\wurzel{6} \wedge x>\wurzel{6} \Rightarrow[/mm]
> Widerspruch

Erstens: Wieder [mm] \vee [/mm] statt [mm] \wedge [/mm] und zweitens: Nun kein Widerspruch mehr, sondern:

x > [mm] \wurzel{6} \quad \vee [/mm] x < [mm] -\wurzel{6} [/mm]
  

> 2.2  
> [mm](x^{2}-1)<0 \Rightarrow[/mm] -1<x<1
>  [mm]-3-x^{2}+1=-2-x^{2}<0 \Rightarrow x^{2}>-2 \Rightarrow x\in \IR \Rightarrow[/mm]
> -1<x<1

Analog 1.2:  3 + [mm] x^{2} [/mm] - 1 < 0  <=>  [mm] x^{2} [/mm] + 2 < 0  Hier schon Widerspruch!

> dafür existiert  kein [mm]x\in \IR[/mm]

Zufällig richtig!  

> [mm]\Rightarrow L={(-1,1)\cup[1,\wurzel{2})\cup(-\wurzel{2},-1]}={(-\wurzel{2},\wurzel{2})}[/mm]

Richtig:  
$L = ] [mm] -\infty [/mm] ; [mm] -\wurzel{6} [/mm] [ [mm] \quad \cup \quad ]-\wurzel{2} [/mm] ; 0 [ [mm] \quad \cup \quad [/mm] ] 0 ; + [mm] \wurzel{2} [/mm] [ [mm] \quad \cup \quad [/mm] ] + [mm] \wurzel{6} [/mm] ; [mm] +\infty [/mm] [$

Oh Mann: Was für eine Formel-Tipperei!

mfG!
Zwerglein

Bezug
        
Bezug
Ungleichung mit Betrag: zeichnerische Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Mo 08.10.2007
Autor: Loddar

Hallo Celeste!


Ergänzend zu Zwerglein's Anmerkungen / Korrekturen hier mal eine zeichnerische Darstellung / Lösung:

[Dateianhang nicht öffentlich]


Gruß
Loddar


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Ungleichung mit Betrag: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 Mo 08.10.2007
Autor: celeste16

alles klar. danke euch beiden!

Bezug
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