Ungleichung lösen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 So 14.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Lösen Sie die Ungleichungen
|x-1|<|2x-1| und |1x+1|-2| [mm] \le2 [/mm]
für [mm] x\in\IR [/mm] |
Meine Idee:
für alle a und c [mm] \in [/mm] IR gilt:
|a|<c [mm] \gdw [/mm] a<c und -a<c
a := |x-1| und c:=|2x-1|
also
||x-1||<|2x-1| [mm] \Rightarrow [/mm] |x-1|<|2x-1| und |-x+1|<|2x-1|
Da ||x-1||=|x-1| oder ||x-1||=|-x+1|, gilt auch
|x-1|<|2x-1| und |-x+1|<|2x-1| [mm] \Rightarrow [/mm] ||x-1||<|2x-1|
ist mein Ansatz richtig, und wie kann ich es besser machen?
Ist das der Beweis?
Viele Grüße
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Hallo Feiratos,
> Lösen Sie die Ungleichungen
>
> |x-1|<|2x-1| und |1x+1|-2| [mm]\le2[/mm]
>
> für x [mm]\in[/mm] IR
> Meine Idee:
>
> für alle a und c [mm]\in[/mm] IR gilt:
>
> |a|<c [mm]\gdw[/mm] a<c und -a<c ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> a := |x-1| ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und c:=|2x-1|
Es ist $a=x-1$ und $c=2x-1$, also genau das, was zwischen den Betragstrichen steht
> also
> ||x-1||<|2x-1| [mm]\Rightarrow[/mm] |x-1|<|2x-1| und |-x+1|<|2x-1|
>
> Da ||x-1||=|x-1| oder ||x-1||=|-x+1|, gilt auch
> |x-1|<|2x-1| und |-x+1|<|2x-1| [mm]\Rightarrow[/mm]
> ||x-1||<|2x-1|
>
> ist mein Ansatz richtig, und wie kann ich es besser
> machen?
> Ist das der Beweis?
Nein, ich sehe hierin keinen Beweis ...
Du willst doch dasjenige/diejenigen Intervall/e rauskriegen, für die die Ungleichung gilt ...
Du wirst wohl nicht umhin kommen, die Definition des Betrages zu bemühen und dich mit einigen Fallunterscheidungen rumzuplagen
[mm] $|z|=\begin{cases} z, & \mbox{für } z\ge 0 \\ -z, & \mbox{für } z<0 \end{cases}$
[/mm]
Also hier [mm] $|x-1|=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x-1\ge 0 \\ -(x-1), & \mbox{für } x-1<0 \end{cases}=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x\ge 1 \\ 1-x, & \mbox{für } x<1 \end{cases}$
[/mm]
und [mm] $|2x-1|=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } 2x-1\ge 0 \\ -(2x-1), & \mbox{für } 2x-1<0 \end{cases}=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x\ge\frac{1}{2} \\ 1-2x, & \mbox{für } x<\frac{1}{2} \end{cases}$
[/mm]
Hier musst du wohl einige Fälle bzgl. x "durchspielen"
Am einfachsten bzw. am schnellsten lässt sich die Aufgabe aber graphisch lösen, also falls das erlaubt ist, ... 
>
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 So 14.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Oha,ok, dann beschäftige ich mich erstmal mit den Definitionen des Betrages..
später werde nehme ich dann die Aufgabe in Angriff.
vielen Dank für die Hinweise..ich werde mich soo schnell wie möglich mit meinen Ergebnissen melden
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
$ [mm] |z|=\begin{cases} z, & \mbox{für } z\ge 0 \\ -z, & \mbox{für } z<0 \end{cases} [/mm] $
Definition vom Betrag
hier die Elemente der Gleichung einsetzen:
Also hier $ [mm] |x-1|=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x-1\ge 0 \\ -(x-1), & \mbox{für } x-1<0 \end{cases}=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x\ge 1 \\ 1-x, & \mbox{für } x<1 \end{cases} [/mm] $
und $ [mm] |2x-1|=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } 2x-1\ge 0 \\ -(2x-1), & \mbox{für } 2x-1<0 \end{cases}=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x\ge\frac{1}{2} \\ 1-2x, & \mbox{für } x<\frac{1}{2} \end{cases} [/mm] $
Das hast du ja gemacht, und das habe ich auch teilweise verstanden(ich weiß nicht wie es zu der 1/2 am Ende beim Einmsetzen des zweiten Elements kommt)
Jetzt soll ich für x Zahlen einsetzen und die Intervalle rausbekommen.
zum Beispiel wenn ich fürx=1 einsetze geht fast alles, ausser das:
Also hier $ [mm] |1-1|=\begin{cases} 1-1, & \mbox{für } 1-1\ge 0 \\ -(1-1), & \mbox{für } 1-1<0 \end{cases}=\begin{cases} 1-1, & \mbox{für } 1\ge 1 \\ 1-1, & \mbox{für } 1<1 \end{cases} [/mm] $
weil hier 1-1, [mm] \mbox{für } 1\ge [/mm] 1 weil 0 ja nicht [mm] \ge1 [/mm] ist.
Wie kann ich hier sinnvoll Zahlen für x auswählen, gibt es da Merkmale ?
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Hallo Feiratos!
> [mm]|z|=\begin{cases} z, & \mbox{für } z\ge 0 \\ -z, & \mbox{für } z<0 \end{cases}[/mm]
>
> Definition vom Betrag
>
> hier die Elemente der Gleichung einsetzen:
>
> Also hier [mm]|x-1|=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x-1\ge 0 \\ -(x-1), & \mbox{für } x-1<0 \end{cases}=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x\ge 1 \\ 1-x, & \mbox{für } x<1 \end{cases}[/mm]
>
> und [mm]|2x-1|=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } 2x-1\ge 0 \\ -(2x-1), & \mbox{für } 2x-1<0 \end{cases}=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x\ge\frac{1}{2} \\ 1-2x, & \mbox{für } x<\frac{1}{2} \end{cases}[/mm]
>
> Das hast du ja gemacht, und das habe ich auch teilweise
> verstanden(ich weiß nicht wie es zu der 1/2 am Ende beim
> Einmsetzen des zweiten Elements kommt)
Na, lös doch mal die Ungleichung [mm] $2x-1\ge [/mm] 0$ nach x auf! 
> Jetzt soll ich für x Zahlen einsetzen und die Intervalle
> rausbekommen.
Kannst du vllt mal die exakte Aufgabenstellung hierzu geben?
> zum Beispiel wenn ich fürx=1 einsetze geht fast alles,
> ausser das:
>
> Also hier [mm]|1-1|=\begin{cases} 1-1, & \mbox{für } 1-1\ge 0 \\ -(1-1), & \mbox{für } 1-1<0 \end{cases}=\begin{cases} 1-1, & \mbox{für } 1\ge 1 \\ 1-1, & \mbox{für } 1<1 \end{cases}[/mm]
>
> weil hier 1-1, [mm]\mbox{für } 1\ge[/mm] 1 weil 0 ja nicht [mm]\ge1[/mm]
> ist.
Naja, es ist doch ganz klar, dass immer nur einer der beiden Fälle eintreffen kann. Genau das ist ja der Sinn der Sache. Wenn du |1-1| berechnen möchtest, rechne doch einfach |1-1|=|0|=0, da [mm] 0\ge [/mm] 0.
> Wie kann ich hier sinnvoll Zahlen für x auswählen, gibt es
> da Merkmale ?
Wenn ich deine Aufgabe richtig verstehe, stehen im letzten Schritt der Definitionen oben bei dir schon die Lösungen. Probier's doch damit mal (am besten zeichnen ).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
also wenn ich 2x-1 nach x umstelle, da ist x=1/2 ?
Ja aber ich denke ich soll hier die Intervalle ermitteln?
DIe exakte Aufgabenstellung lautet:
Lösen Sie die Ungleichung | x-1 | < | 2x-1 | für [mm] x\in [/mm] IR
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Hallo Feiratos,
> also wenn ich 2x-1 nach x umstelle, da ist x=1/2 ?
>
> Ja aber ich denke ich soll hier die Intervalle ermitteln?
Wir haben doch bisher nur die "kritischen" Stellen ermittelt, an denen bei den Beträgen "etwas passiert"
Um die Ungleichung lösen zu können, müssen ja irgendwie die Beträge weg.
Du musst jetzt beginnen, bzgl. der ermittelten "kritischen" Stellen eine Fallunterscheidung zu machen
Ich fange mal mit einem Fall an:
Für [mm] $x<\frac{1}{2}$ [/mm] ist $|2x-1|=1-2x$ und, da mit [mm] $x<\frac{1}{2}$ [/mm] auch $x<1$ ist, ist $|x-1|=1-x$
Die Ausgangsungleichung $|x-1|<|2x-1|$ ist also für [mm] $x<\frac{1}{2}$ [/mm] äquivalent zu der Ungleichung $1-x<1-2x$
Die lösen wir: $... [mm] \gdw [/mm] x<0$
Also hast du hier für diesen Fall an x 3 Bedingungen:
(1) [mm] x<\frac{1}{2} [/mm] das war die Vor. gem. dem ersten Fall
(2) x<1 folgt aus (1)
(3) x<0 ist Lösung der Ungleichung
Welche x erfüllen nun alle 3 Bedingungen?
Offensichtlich alle x<0
Also ist für diesen Fall: [mm] $\mathbb{L}=(-\infty,0)$
[/mm]
Nach demselben Stil kannst du die anderen möglichen Fälle systematisch "abarbeiten"
>
> DIe exakte Aufgabenstellung lautet:
>
>
> Lösen Sie die Ungleichung | x-1 | < | 2x-1 | für [mm]x\in[/mm] IR
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Also muss ich dieses Schema für [mm] x\ge1, x\ge1/2 [/mm] und für x<1 durcharbeiten...
das wird ein bischen dauern, aber ich gebe mein bestes
danke schön,
liebe Grüße
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Hallo nochmal,
effektiv ist es gar nicht sooo viel Arbeit.
Fälle wie zB. [mm] $x<\frac{1}{2}$ [/mm] und $x>1$ kannst du ja direkt abhaken.
Es läuft - wenn ich nicht irre - auf 3 "spannende" Fälle hinaus, von denen einer oben schon steht
Die Gesamtlösung ergibt sich am Schluss als Vereinigung(smenge) der "Teillösungen"
Gruß und viel Erfolg beim "Fälle-Abackern"
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Di 16.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Guten Morgen
wenn ich den Fall x>1 durcharbeite, dann komme ich auf die Bedingungen x>1 , x>1/2 und x>0.
Daher hier die Lösungsmenge [mm] \IL= [/mm] { [mm] \infty;0 [/mm] }
Aber was kommt noch für ein Fall?
Wenn ich jetzt zum Beispiel [mm] x\ge [/mm] 1/2 nehme, so habe ich ja für diesen Fall die Bedingungen, dass [mm] x>0,x\ge [/mm] 1/2, aber x nicht größer als 1 sein muss.
Also eigentlich hier nur zwei Bedingungen.
LG
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Hallo Feiratos,
> Guten Morgen
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> wenn ich den Fall x>1 eher [mm] x\ge [/mm] 1 durcharbeite, dann komme ich auf die
> Bedingungen [mm] x\red{\ge} [/mm] 1 , [mm] x\red{\ge}\frac{1}{2} [/mm] und x>0.
>
> Daher hier die Lösungsmenge [mm] \IL= \red{(}\infty;0\red{)} [/mm]
x muss doch alle 3 Bedingungen erfüllen, also $x>0$ und [mm] $x\ge\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $x\ge [/mm] 1$, das bedeutet also insgesamt [mm] $x\ge [/mm] 1$, also [mm] $x\in[1,\infty)$
[/mm]
Zur Schreibweise: man schreibt für gewöhnlich die untere Grenze links, also [mm] $\mathbb{L}=(0,\infty)$ [/mm] Außerdem setzt man bei Intervallen keine Mengenklammern ...
>
> Aber was kommt noch für ein Fall?
Fall(3) siehe unten ...
> Wenn ich jetzt zum Beispiel [mm]x\ge[/mm] 1/2 nehme, so habe ich ja
> für diesen Fall die Bedingungen, dass [mm]x>0,x\ge[/mm] 1/2, aber x
> nicht größer als 1 sein muss.
Du hast insgesamt 4 Fälle, um beide Beträge aufzulösen:
(1) [mm] $x\ge [/mm] 1$ und [mm] $x\ge\frac{1}{2}$
[/mm]
(2) [mm] $x\ge [/mm] 1$ und [mm] $x<\frac{1}{2}$
[/mm]
(3) $x<1$ und [mm] $x\ge\frac{1}{2}$
[/mm]
(4) $x<1$ und [mm] $x<\frac{1}{2}$
[/mm]
Das sind alle Kombinationsmöglichkeiten, die sich aus den Betragsdefinitionen oben ergeben
Fall (2) liefert direkt einen Widerspruch, Fall (4) hatten wir oben bereits
Schaue dir noch Fall (3) an und schaue, was sich insgesamt dann als Lösungsmenge ergibt
> Also eigentlich hier nur zwei Bedingungen.
>
> LG
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo Feiratos,
Die Ungleichung |x-1| < |2x-1| ist äquivalent zu
[mm] (x-1)^2 [/mm] < [mm] (2x-1)^2
[/mm]
weil die Quadratfunktion für nichtnegative Argumente
streng monoton ist. Die neue Ungleichung kann man
auf die Form
[mm] 3x^2-2x>0
[/mm]
bringen. Der Graph der Funktion [mm] f:x\to 3x^2-2x
[/mm]
ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Null-
stellen [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=2/3 [/mm] . Die Lösungsmenge
der Ungleichung ist dann so leicht ablesbar wie wenn
man von Anfang an eine Skizze der Betragsfunktionen
gemacht hätte.
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Di 16.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
also ist
x>2/3 oder x<0
[mm] \gdw x\in [/mm] IR \ [0,2/3] ?
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Hallo nochmal,
> also ist
>
> x>2/3 oder x<0
> [mm]\gdw x\in[/mm] IR \ [0,2/3] ? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jo, das ist richtig!
LG
schachuzipus
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