Ungleichung konstante Fkt. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] T>0.g\alpha,\beta:[0,T]\rightarrow \mathbb{R} [/mm] stetig, mit [mm] \beta \geq [/mm] 0 und
[mm] 0\leq g(t)\leq \alpha(t)+\int_{0}^{t}\beta(s)g(s)ds\,\,\,\, t\in[0,T].
[/mm]
Dann gilt:
[mm] g(t)\leq\alpha(t)+\int_{0}^{t}\alpha(s)\beta(s)exp\left(\int_{s}^{t}\beta(r)dr\right)ds,\,\,\,\, t\in[0,T].
[/mm]
Insbesondere gilt im Fall konstanter Funktionen [mm] $\alpha\equiv [/mm] A$
und [mm] $\beta\equiv B,\,\, A,B\geq0:$
[/mm]
[mm] $g(t)\leq Ae^{Bt}.$\\
[/mm]
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Hallo,
ich soll das Ganze beweisen. Die Ungleichung im allgemeinen Fall habe ich bewiesen. Jetzt muss ich nur noch etwas zu dem Teil "insbesondere gilt..." sagen. Wenn ich also konstante Funktionen habe, dann soll gelten:
[mm] g(t)\leq Ae^{Bt}.
[/mm]
Kann ich das irgendwie sofort aus meiner bewiesenen Gleichung sehen? Mir ist das nicht so ganz klar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Do 02.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mit $ [mm] \alpha\equiv [/mm] A $ und $ [mm] \beta\equiv B,\,\, A,B\geq0: [/mm] $
wird aus
$ [mm] g(t)\leq\alpha(t)+\int_{0}^{t}\alpha(s)\beta(s)exp\left(\int_{s}^{t}\beta(r)dr\right)ds,\,\,\,\, t\in[0,T]. [/mm] $
$ [mm] g(t)\leq [/mm] A [mm] +\int_{0}^{t} [/mm] AB [mm] exp\left(\int_{s}^{t} B dr\right)ds,\,\,\,\, t\in[0,T]. [/mm] $
und damit solltest du auf deine Behauptung kommen.
Marius
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> Hallo
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> Mit [mm]\alpha\equiv A[/mm] und [mm]\beta\equiv B,\,\, A,B\geq0:[/mm]
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> wird aus
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> [mm]g(t)\leq\alpha(t)+\int_{0}^{t}\alpha(s)\beta(s)exp\left(\int_{s}^{t}\beta(r)dr\right)ds,\,\,\,\, t\in[0,T].[/mm]
>
> [mm]g(t)\leq A +\int_{0}^{t} AB exp\left(\int_{s}^{t} B dr\right)ds,\,\,\,\, t\in[0,T].[/mm]
>
> und damit solltest du auf deine Behauptung kommen.
>
> Marius
>
Ok. Mir ist das mit der Behauptung trotzdem noch nicht ganz klar.
Was kommt denn nun bei den Integralen raus? Bleibt das nicht einfach so, weil die Funktionen ja konstant sind? Bloß dann hätte ich sowas:
[mm] g(t)\leq [/mm] A+ABexp(Bt).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Do 02.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Beachte, dass
[mm] \integral_{p}^{q}Cdx=[Cx]_{p}^{q}=Cq-Cp=C(q-p)
[/mm]
Und beachte, dass ein teil des Integrals dann als Argument der Exp-Funktion auftaucht.
Marius
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> Hallo
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> Beachte, dass
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> [mm]\integral_{p}^{q}Cdx=[Cx]_{p}^{q}=Cq-Cp=C(q-p)[/mm]
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> Und beachte, dass ein teil des Integrals dann als Argument
> der Exp-Funktion auftaucht.
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>
> Marius
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Ja. Muss ich da irgendwie für partiell integrieren, wenn ich eine Stammfunktion haben will? Das Integral im exp nervt mich. Und selbst wenn, wie sollte das gehen bei unterschiedlichen Integralschranken?
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Nur nicht von den vielen Dingen verwirren lassen - denn es sind nur zwei simple Integrationen, die du durchführen musst (und nicht so hinhuddeln, sondern sauber mit dem Einsetzen der Grenzen usw.):
$ [mm] g(t)\leq [/mm] A [mm] +\int_{0}^{t} [/mm] AB [mm] exp\left(\int_{s}^{t} B dr\right)ds [/mm] $
[mm] = A + AB*\int_{0}^{t} exp\left(\int_{s}^{t} B dr\right)ds [/mm] (AB sind Konstanten, können also vor das Integral)
[mm] = A + AB*\int_{0}^{t} exp\left(B*(t-s)\right)ds [/mm] (Das "innere" Integral ist leicht zu berechnen, wurde schon vorgerechnet)
[mm] = A + AB*\int_{0}^{t} e^{B*t - B*s}ds[/mm] (Ausmultiplizieren und andere Schreibweise für exp)
[mm] = A + AB*\int_{0}^{t}e^{B*t}*e^{-B*s}ds[/mm] (Potenzgesetz verwenden)
[mm]= A + AB*e^{B*t}*\int_{0}^{t}e^{-B*s}ds[/mm] (Den Teil, der nicht von s abhängt, vor das Integral ziehen)
[mm] = A + AB*e^{B*t}* \left[ -\bruch{1}{B}e^{-B*s} \right]_0^t [/mm] (Stammfunktion ist leicht in diesem Fall)
[mm] = A + AB*e^{B*t}* \bruch{-1}{B}* \left[ e^{-B*t} - 1 \right] [/mm] (Grenzen einsetzen)
[mm] = A - A + A*e^{B*t}[/mm] (Ausmultiplizieren, Kürzen, Potenzgesetz)
Fertig 
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