Ungleichung komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für alle Zahlen a, b [mm] $\in \IC$ [/mm] gilt: [mm] $\left|a + b\right| \le \left|a\right| [/mm] + [mm] \left|b\right| [/mm] |
Meine Idee war:
$a= [mm] a_r [/mm] + [mm] a_i [/mm] * j$
$b= [mm] b_r [/mm] + [mm] a_i [/mm] * j$
Nun kann ich die Ungleichung umformen zu:
[mm] $\wurzel{(a_r+b_r)^2+(a_i+b_i)^2} \le \wurzel{a_r^2+b_r^2} [/mm] + [mm] \wurzel{a_i^2+b_i^2}$
[/mm]
Wenn ich allerdings jetzt quadriere, die Binome auflöse und ausrechne, komme ich auf:
[mm] $2a_rb_r+2a_ib_i \le [/mm] 0$
Wo liegt mein Fehler bzw. ist der Ansatz schon falsch?
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mi 30.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Zeigen Sie, dass für alle Zahlen a, b [mm]\in \IC[/mm] gilt:
> [mm]\left|a + b\right| \le \left|a\right|[/mm] + [mm]\left|b\right|[/mm]
> Meine Idee war:
> [mm]a= a_r + a_i * j[/mm]
> [mm]b= b_r + a_i * j[/mm]
Das ist gut
> Nun kann ich die
> Ungleichung umformen zu:
> [mm]\wurzel{(a_r+b_r)^2+(a_i+b_i)^2} \le \wurzel{a_r^2+b_r^2} + \wurzel{a_i^2+b_i^2}[/mm]
Wie kommst du denn darauf:
Aus [mm] |a+b|\le|a|+|b| [/mm] folgt mit deiner Bezeichnung:
[mm] |(a_{r}+i\cdot a_{i})+(b_{r}+i\cdot b_{i})|\le|(a_{r}+i\cdot a_{i})|+|(b_{r}+i\cdot b_{i})|
[/mm]
[mm] \Leftrightatrrow|(a_{r}+b_{r})+i\cdot(a_{i}+b_{i})|\le|(a_{r}+i\cdot a_{i})|+|(b_{r}+i\cdot b_{i})|
[/mm]
Nun wende den Betrag an:
[mm] \sqrt{(a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}}\le\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}+\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}
[/mm]
Jetzt quadriere mal sauber. Beachte dabei auch die binomische Formel rechts.
Löse dann links die binomischen Formeln auf, danach kannst du eine Menge Terme heraussubtrahieren, und bekommst eine Ungleichung, die du dann noch einmal quadrieren kannst.
Das gibt eine Form, an der du die Ungleichung schön begründen kannst, überlege auch mal, warum folgende Ungleichung immer gelten muss:
[mm] p^{2}\cdot q^{2}\le(p^{2}+x^{2})\cdot(q^{2}+y^{2})
[/mm]
>
> Wenn ich allerdings jetzt quadriere, die Binome auflöse
> und ausrechne, komme ich auf:
> [mm]2a_rb_r+2a_ib_i \le 0[/mm]
> Wo liegt mein Fehler bzw. ist der Ansatz schon falsch?
> Mfg
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
> Hallo
>
>
> > Zeigen Sie, dass für alle Zahlen a, b [mm]\in \IC[/mm] gilt:
> > [mm]\left|a + b\right| \le \left|a\right|[/mm] + [mm]\left|b\right|[/mm]
> > Meine Idee war:
> > [mm]a= a_r + a_i * j[/mm]
> > [mm]b= b_r + a_i * j[/mm]
>
> Das ist gut
>
> > Nun kann ich die
> > Ungleichung umformen zu:
> > [mm]\wurzel{(a_r+b_r)^2+(a_i+b_i)^2} \le \wurzel{a_r^2+b_r^2} + \wurzel{a_i^2+b_i^2}[/mm]
>
> Wie kommst du denn darauf:
>
> Aus [mm]|a+b|\le|a|+|b|[/mm] folgt mit deiner Bezeichnung:
>
> [mm]|(a_{r}+i\cdot a_{i})+(b_{r}+i\cdot b_{i})|\le|(a_{r}+i\cdot a_{i})|+|(b_{r}+i\cdot b_{i})|[/mm]
>
> [mm]\Leftrightatrrow|(a_{r}+b_{r})+i\cdot(a_{i}+b_{i})|\le|(a_{r}+i\cdot a_{i})|+|(b_{r}+i\cdot b_{i})|[/mm]
Ja klar, danke, da sind mir beim Formeln tippen die "as" und "bs" durcheinandergeraten ;) Auf dem Papier habe ich das so.
> Nun wende den Betrag an:
>
> [mm]\sqrt{(a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}}\le\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}+\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}[/mm]
>
> Jetzt quadriere mal sauber. Beachte dabei auch die
> binomische Formel rechts.
> Löse dann links die binomischen Formeln auf, danach
> kannst du eine Menge Terme heraussubtrahieren, und bekommst
> eine Ungleichung, die du dann noch einmal quadrieren
> kannst.
Also:
[mm] $\sqrt{(a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}}\le\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}+\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}$
[/mm]
[mm] $\gdw a_r^2+2a_rb_r+b_r^2+ a_i^2+2a_ib_i+b_i^2 \le a_r^2+b_r^2+a_i^2+b_i^2$
[/mm]
Quadriere ich falsch? Ich sehe rechts keine binomische Formel und wenn ich so verfahre lande ich wie gesagt am Ende bei
[mm] $2a_rb_r+2a_ib_i \le [/mm] 0$
> Das gibt eine Form, an der du die Ungleichung schön
> begründen kannst, überlege auch mal, warum folgende
> Ungleichung immer gelten muss:
>
> [mm]p^{2}\cdot q^{2}\le(p^{2}+x^{2})\cdot(q^{2}+y^{2})[/mm]
>
> >
> > Wenn ich allerdings jetzt quadriere, die Binome
> auflöse
> > und ausrechne, komme ich auf:
> > [mm]2a_rb_r+2a_ib_i \le 0[/mm]
> > Wo liegt mein Fehler bzw. ist
> der Ansatz schon falsch?
> > Mfg
>
> Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo
> >
> >
> > > Zeigen Sie, dass für alle Zahlen a, b [mm]\in \IC[/mm] gilt:
> > > [mm]\left|a + b\right| \le \left|a\right|[/mm] +
> [mm]\left|b\right|[/mm]
> > > Meine Idee war:
> > > [mm]a= a_r + a_i * j[/mm]
> > > [mm]b= b_r + a_i * j[/mm]
> >
> > Das ist gut
> >
> > > Nun kann ich die
> > > Ungleichung umformen zu:
> > > [mm]\wurzel{(a_r+b_r)^2+(a_i+b_i)^2} \le \wurzel{a_r^2+b_r^2} + \wurzel{a_i^2+b_i^2}[/mm]
>
> >
> > Wie kommst du denn darauf:
> >
> > Aus [mm]|a+b|\le|a|+|b|[/mm] folgt mit deiner Bezeichnung:
> >
> > [mm]|(a_{r}+i\cdot a_{i})+(b_{r}+i\cdot b_{i})|\le|(a_{r}+i\cdot a_{i})|+|(b_{r}+i\cdot b_{i})|[/mm]
>
> >
> >
> [mm]\Leftrightatrrow|(a_{r}+b_{r})+i\cdot(a_{i}+b_{i})|\le|(a_{r}+i\cdot a_{i})|+|(b_{r}+i\cdot b_{i})|[/mm]
>
>
> Ja klar, danke, da sind mir beim Formeln tippen die "as"
> und "bs" durcheinandergeraten ;) Auf dem Papier habe ich
> das so.
>
> > Nun wende den Betrag an:
> >
> >
> [mm]\sqrt{(a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}}\le\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}+\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}[/mm]
> >
> > Jetzt quadriere mal sauber. Beachte dabei auch die
> > binomische Formel rechts.
> > Löse dann links die binomischen Formeln auf, danach
> > kannst du eine Menge Terme heraussubtrahieren, und bekommst
> > eine Ungleichung, die du dann noch einmal quadrieren
> > kannst.
> Also:
>
> [mm]\sqrt{(a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}}\le\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}+\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}[/mm]
> [mm]\gdw a_r^2+2a_rb_r+b_r^2+ a_i^2+2a_ib_i+b_i^2 \le a_r^2+b_r^2+a_i^2+b_i^2[/mm]
>
> Quadriere ich falsch?
Ja, was Du gemacht hast , ist ein Verbrechen !
Setzen wir [mm] x:=\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}} [/mm] und y:= [mm] \sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}
[/mm]
so steht oben rechts: x+y
Was Du gemacht hast: [mm] (x+y)^2=x^2+y^2
[/mm]
Ist Dir klar, dass das Unfug ist ?
Ich würde das anders machen:
1. Es ist, für w [mm] \in \IC, |w|^2=w*\overline{w}
[/mm]
2. Für w [mm] \in \IC [/mm] ist Re(w) [mm] \le [/mm] |w|.
3. Für w [mm] \in \IC [/mm] ist [mm] w+\overline{w}=2Re(w)
[/mm]
Wenn Du 1. und 3. bekommst Du (nachrechnen):
[mm] |a+b|^2 =|a|^2+|b|^2+2*Re(a*\overline{b})
[/mm]
Wegen 2. folgt:
[mm] |a+b|^2 \le |a|^2+|b|^2+2|a|*|b|=(|a|+|b|)^2
[/mm]
FRED
> Ich sehe rechts keine binomische
> Formel und wenn ich so verfahre lande ich wie gesagt am
> Ende bei
> [mm]2a_rb_r+2a_ib_i \le 0[/mm]
>
> > Das gibt eine Form, an der du die Ungleichung schön
> > begründen kannst, überlege auch mal, warum folgende
> > Ungleichung immer gelten muss:
> >
> > [mm]p^{2}\cdot q^{2}\le(p^{2}+x^{2})\cdot(q^{2}+y^{2})[/mm]
> >
> > >
> > > Wenn ich allerdings jetzt quadriere, die Binome
> > auflöse
> > > und ausrechne, komme ich auf:
> > > [mm]2a_rb_r+2a_ib_i \le 0[/mm]
> > > Wo liegt mein Fehler bzw.
> ist
> > der Ansatz schon falsch?
> > > Mfg
> >
> > Marius
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
> >
> > Quadriere ich falsch?
>
> Ja, was Du gemacht hast , ist ein Verbrechen !
>
>
> Setzen wir [mm]x:=\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}[/mm] und y:=
> [mm]\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}[/mm]
>
> so steht oben rechts: x+y
>
> Was Du gemacht hast: [mm](x+y)^2=x^2+y^2[/mm]
>
> Ist Dir klar, dass das Unfug ist ?
>
Völlig klar, danke ;) Ich hoffe ich muss trotzdem nicht ins Gefängnis. Womit wieder bestätigt wäre, dass der Großteil der Studenten an den Grundrechenarten scheitern :)
>
> Ich würde das anders machen:
>
> 1. Es ist, für w [mm]\in \IC, |w|^2=w*\overline{w}[/mm]
Ja, das habe ich schonmal gehört :)
> 2. Für w [mm]\in \IC[/mm] ist Re(w) [mm]\le[/mm] |w|.
Bedeutet das, der Realteil einer komplexen Zahl ist immer kleiner gleich dem Betrag? Wie erkenne ich, dass mir das hier weiterhilft?
> 3. Für w [mm]\in \IC[/mm] ist [mm]w+\overline{w}=2Re(w)[/mm]
Logisch.
> Wenn Du 1. und 3. bekommst Du (nachrechnen):
>
> [mm]|a+b|^2 =|a|^2+|b|^2+2*Re(a*\overline{b})[/mm]
Wie wende ich das an? Sorry, ich komm nicht drauf :(
> Wegen 2. folgt:
>
> [mm]|a+b|^2 \le |a|^2+|b|^2+2|a|*|b|=(|a|+|b|)^2[/mm]
>
>
> FRED
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Do 31.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > Ich würde das anders machen:
> >
> > 1. Es ist, für w [mm]\in \IC, |w|^2=w*\overline{w}[/mm]
> Ja, das
> habe ich schonmal gehört :)
solltest du einfach mal nachrechnen! was ist denn (a+ib)*(a-ib)
> > 2. Für w [mm]\in \IC[/mm] ist Re(w) [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|w|.
> Bedeutet das, der Realteil einer komplexen Zahl ist immer
> kleiner gleich dem Betrag?
schreib mal Re(z)^2 hin und |z|^2 dann siehst du es, oder mal ein z auf, und Re(z) vergleiche die Längen !
>Wie erkenne ich, dass mir das
> hier weiterhilft?
indem du (z+w)*\overline{z+w}=(z+w)*{\overline{z}+\overline{w}) wie virgeschlagen nachrechnest
> > 3. Für w [mm]\in \IC[/mm] ist [mm]w+\overline{w}=2Re(w)[/mm]
> Logisch.
>
> > Wenn Du 1. und 3. bekommst Du (nachrechnen):
> >
> > [mm]|a+b|^2 =|a|^2+|b|^2+2*Re(a*\overline{b})[/mm]
>
> Wie wende ich das an? Sorry, ich komm nicht drauf :(
einfach alles wirklich rechnen!
> > Wegen 2. folgt:
> >
> > [mm]|a+b|^2 \le |a|^2+|b|^2+2|a|*|b|=(|a|+|b|)^2[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Do 31.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> > Bedeutet das, der Realteil einer komplexen Zahl ist
> immer
> > kleiner gleich dem Betrag?
> schreib mal [mm] Re(z)^2 [/mm] hin und [mm] |z|^2 [/mm] dann siehst du es,
ergänzend sage ich dazu mal: [mm] $\sqrt{\cdot} \colon [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] ist eine (streng) monoton
wachsende Funktion!
> oder mal ein z auf, und Re(z) vergleiche die Längen !
Hier darf man ruhig auch auf ein (rechtwinkliges) Dreieck hinweisen - dessen
Hypothenuse ist immer [mm] $\ge$ [/mm] jeder der Katheten, wie man sieht (oder halt, wie oben,
auch einfach rechnerisch nachweisen kann). Damit ist geometrisch ersichtlich:
[mm] $\text{Re}(z) \le [/mm] |z|$ und [mm] $\text{Im}(z)\le |z|\,.$
[/mm]
Und auch
[mm] $|\text{Re}(z)|^2+|\text{Im}(z)|^2 \;=\;|z|^2$ [/mm] (Pythagoras!)
(Wobei man am Ende auch eine viel schönere Gleichung hinschreiben kann...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Fr 01.11.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
> Damit ist
> geometrisch ersichtlich:
>
> [mm]\text{Re}(z) \le |z|[/mm] und [mm]\text{Im}(z)\le |z|\,.[/mm]
>
> Und auch
>
> [mm]|\text{Re}(z)|^2+|\text{Im}(z)|^2 \;=\;|z|^2[/mm] (Pythagoras!)
> (Wobei man am Ende auch eine viel schönere Gleichung
> hinschreiben kann...)
Die Betragsstriche kann ich doch bei Real und Imaginärteil auch weglassen (denn auch ein negativer Imaginärteil wird durchs quadrieren positiv)??
bzw: [mm] |z|^2= a^2+b^2
[/mm]
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Fr 01.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> [...]
> > Damit ist
> > geometrisch ersichtlich:
> >
> > [mm]\text{Re}(z) \le |z|[/mm] und [mm]\text{Im}(z)\le |z|\,.[/mm]
> >
> > Und auch
> >
> > [mm]|\text{Re}(z)|^2+|\text{Im}(z)|^2 \;=\;|z|^2[/mm] (Pythagoras!)
> > (Wobei man am Ende auch eine viel schönere Gleichung
> > hinschreiben kann...)
>
> Die Betragsstriche kann ich doch bei Real und Imaginärteil
> auch weglassen (denn auch ein negativer Imaginärteil wird
> durchs quadrieren positiv)??
> bzw: [mm]|z|^2= a^2+b^2[/mm]
Ja, für a [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] a^2=|a|^2=|a^2|
[/mm]
FRED
>
> > Gruß,
> > Marcel
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mi 30.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > [...]
> [mm]\Leftrightatrrow|(a_{r}+b_{r})+i\cdot(a_{i}+b_{i})|\le|(a_{r}+i\cdot a_{i})|+|(b_{r}+i\cdot b_{i})|[/mm]
>
>
> Ja klar, danke, da sind mir beim Formeln tippen die "as"
> und "bs" durcheinandergeraten ;) Auf dem Papier habe ich
> das so.
Schön, aber hier stand es eben falsch.
>
> > Nun wende den Betrag an:
> >
> >
> [mm]\sqrt{(a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}}\le\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}+\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}[/mm]
> >
> > Jetzt quadriere mal sauber. Beachte dabei auch die
> > binomische Formel rechts.
> > Löse dann links die binomischen Formeln auf, danach
> > kannst du eine Menge Terme heraussubtrahieren, und bekommst
> > eine Ungleichung, die du dann noch einmal quadrieren
> > kannst.
> Also:
>
> [mm]\sqrt{(a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}}\le\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}+\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}[/mm]
> [mm]\gdw a_r^2+2a_rb_r+b_r^2+ a_i^2+2a_ib_i+b_i^2 \le a_r^2+b_r^2+a_i^2+b_i^2[/mm]
>
> Quadriere ich falsch? Ich sehe rechts keine binomische
> Formel und wenn ich so verfahre lande ich wie gesagt am
> Ende bei
> [mm]2a_rb_r+2a_ib_i \le 0[/mm]
Ja, der klassische Fehler: [mm] (\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2}\red{\ne}\sqrt{p}^{2}+\sqrt{y}^{2}
[/mm]
$ [mm] \sqrt{(a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}}\le\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}+\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}} [/mm] $
Quadrieren
[mm] (a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}\le(\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}})^{2}+2\cdot\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}\cdot\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}+(\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}})^{2}
[/mm]
Und zusammenfassen
[mm] a_{r}^{2}+2a_{r}b_{r}+b_{r}^{2}+a_{i}^{2}+2a_{i}b_{i}+b_{i}^{2}\le a_{r}^{2}+a_{i}^{2}+b_{r}^{2}+b_{i}^{2}+2\cdot\sqrt{(a_{r}^{2}+a_{i}^{2})\cdot(b_{r}^{2}+b_{i}^{2})}
[/mm]
Jetzt subtrahiere die passenden Terme heraus und teile noch durch 2. Danach quadriere erneut.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Mi 30.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
bei diesem Weg muss man genau aufpassen, was man tut!
Wir sind von der zu zeigenden Ungleichung ausgegangen und haben sie umgeformt. Unser Ziel ist eine wahre Aussage.
Wir gehen also umgekehrt als üblich vor.
Dabei ist in jedem Schritt zu beachten, dass die bestehende Ungleichung von der neuen Ungleichung impliziert wird.
Beim Quadrieren ist das im Allgemeinen nicht der Fall.
Hier haben wir jedoch Glück: Auf der "größeren" Seite der Ungleichungen, die wir quadrieren, steht in beiden Fällen eine bekanntermaßen nicht-negative Zahl (nämlich eine Wurzel bzw. die Summe zweier Wurzeln).
Und für beliebige Zahlen [mm] $x\in\IR$ [/mm] und [mm] $y\in\IR$ [/mm] mit [mm] $y\ge0$ [/mm] gilt
[mm] $x\le y\Leftarrow |x|\le y\Leftrightarrow x^2\le y^2$.
[/mm]
(Es empfiehlt sich, wenn man schon diesen nicht so eleganten, aber naheliegenderen Weg geht, ihn am Ende in umgekehrter Reihenfolge zu notieren, also mit einer wahren Aussage zu starten und daraus die Behauptung abzuleiten.)
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mi 30.10.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
> > Quadriere ich falsch? Ich sehe rechts keine binomische
> > Formel und wenn ich so verfahre lande ich wie gesagt am
> > Ende bei
> > [mm]2a_rb_r+2a_ib_i \le 0[/mm]
>
> Ja, der klassische Fehler:
> [mm](\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2}\red{\ne}\sqrt{p}^{2}+\sqrt{y}^{2}[/mm]
Oh gottogott :) *brettvormkopf*
> [mm]\sqrt{(a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}}\le\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}+\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}[/mm]
>
> Quadrieren
>
> [mm](a_{r}+b_{r})^{2}+(a_{i}+b_{i})^{2}\le(\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}})^{2}+2\cdot\sqrt{a_{r}^{2}+a_{i}^{2}}\cdot\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}}+(\sqrt{b_{r}^{2}+b_{i}^{2}})^{2}[/mm]
>
> Und zusammenfassen
>
> [mm]a_{r}^{2}+2a_{r}b_{r}+b_{r}^{2}+a_{i}^{2}+2a_{i}b_{i}+b_{i}^{2}\le a_{r}^{2}+a_{i}^{2}+b_{r}^{2}+b_{i}^{2}+2\cdot\sqrt{(a_{r}^{2}+a_{i}^{2})\cdot(b_{r}^{2}+b_{i}^{2})}[/mm]
>
> Jetzt subtrahiere die passenden Terme heraus und teile noch
> durch 2. Danach quadriere erneut.
[mm] $\gdw a_rb_r+a_ib_i \le \sqrt{(a_{r}^{2}+a_{i}^{2})\cdot(b_{r}^{2}+b_{i}^{2})}$
[/mm]
[mm] $\gdw (a_rb_r+a_ib_i)^2 \le (a_{r}^{2}+a_{i}^{2})\cdot(b_{r}^{2}+b_{i}^{2})$
[/mm]
Okay, das sieht jetzt schon recht ähnlich aus. Leider weiß ich wieder nicht weiter...
Deinen Hinweis mit [mm]p^{2}\cdot q^{2}\le(p^{2}+x^{2})\cdot(q^{2}+y^{2})[/mm] habe ich auch nicht richtig verstanden. Einfach gesagt ist es ja logisch das der Term rechts größer ist als links, wenn ich einfach zu beiden Zahlen links noch etwas hinzu addiere (egal ob negativ oder positiv, da quadriert). Aber Inwiefern hilft mir das bei der Aufgabe?
> Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mi 30.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
> >[...]
> > Jetzt subtrahiere die passenden Terme heraus und teile noch
> > durch 2. Danach quadriere erneut.
> [mm]\gdw a_rb_r+a_ib_i \le \sqrt{(a_{r}^{2}+a_{i}^{2})\cdot(b_{r}^{2}+b_{i}^{2})}[/mm]
>
> [mm]\gdw (a_rb_r+a_ib_i)^2 \le (a_{r}^{2}+a_{i}^{2})\cdot(b_{r}^{2}+b_{i}^{2})[/mm]
>
> Okay, das sieht jetzt schon recht ähnlich aus. Leider
> weiß ich wieder nicht weiter...
Und nochmal das Binom.
[mm] a_{r}^{2}b_{r}^{2}+2a_{r}b_{r}a_{i}b_{i}+a_{i}^{2}b_{i}^{2}\le a_{r}^{2}b_{r}^{2}+a_{i}^{2}b_{r}^{2}+a_{r}^{2}b_{i}^{2}+a_{i}^{2}b_{i}^{2}
[/mm]
Und nochmal heraussubtrahieren
[mm] 2a_{r}b_{r}a_{i}b_{i}\le a_{i}^{2}b_{r}^{2}+a_{r}^{2}b_{i}^{2}
[/mm]
Sortieren
[mm] 0\le a_{i}^{2}b_{r}^{2}-2a_{r}b_{r}a_{i}b_{i}+a_{r}^{2}b_{i}^{2}
[/mm]
Jetzt kannst du rechts wieder eine binomische Formel "rückwärts" anwenden, vielleicht wird es deutlicher, wenn wir umklammern:
[mm] 0\le(a_{i}b_{r})^{2}-2\cdot(a_{i}b_{r})\cdot(a_{r}b_{i})+(a_{r}b_{i})^{2}
[/mm]
Nun wieder du.
>
> Deinen Hinweis mit [mm]p^{2}\cdot q^{2}\le(p^{2}+x^{2})\cdot(q^{2}+y^{2})[/mm]
> habe ich auch nicht richtig verstanden.
Sorry, jetzt habe ich einen Term übersehen, vergiss den Hinweis.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Do 31.10.2013 | | Autor: | jayw |
> [mm]0\le(a_{i}b_{r})^{2}-2\cdot(a_{i}b_{r})\cdot(a_{r}b_{i})+(a_{r}b_{i})^{2}[/mm]
>
> Nun wieder du.
>
[mm]0\le \left(a_rb_i - a_ib_r\right)^2[/mm]
Das dürfte für alle reellen Zahlen zutreffen, reicht das schon?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Do 31.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> [mm]0\le(a_{i}b_{r})^{2}-2\cdot(a_{i}b_{r})\cdot(a_{r}b_{i})+(a_{r}b_{i})^{2}[/mm]
> >
> > Nun wieder du.
> >
> [mm]0\le \left(a_rb_i - a_ib_r\right)^2[/mm]
>
> Das dürfte für alle reellen Zahlen zutreffen, reicht das
> schon?
>
naja, da stehen zusammenhangslos zwei Ungleichungen. Ich nehme
an, dass Du die erste aus der zweiten folgern willst:
Strenggenommen gilt hier sogar
[mm] $0\le \left(a_rb_i - a_ib_r\right)^2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $0\le(a_{i}b_{r})^{2}-2\cdot(a_{i}b_{r})\cdot(a_{r}b_{i})+(a_{r}b_{i})^{2}\,,$
[/mm]
aber, was Du wohl eigentlich sagen willst:
Klar ist, dass
[mm] $0\le \left(a_rb_i - a_ib_r\right)^2$
[/mm]
gilt (denn es ist [mm] $u:=a_rb_i-a_ib_r \in \IR$ [/mm] und daher bekanntlich [mm] $u^2 \ge [/mm] 0$).
Daraus folgt ... (halt das, worauf Du hinaus willst).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Fr 01.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> >
> [mm]0\le(a_{i}b_{r})^{2}-2\cdot(a_{i}b_{r})\cdot(a_{r}b_{i})+(a_{r}b_{i})^{2}[/mm]
> >
> > Nun wieder du.
> >
> [mm]0\le \left(a_rb_i - a_ib_r\right)^2[/mm]
>
> Das dürfte für alle reellen Zahlen zutreffen, reicht das
> schon?
Ja, ein Quadrat kann doch Minimal Null werden, das solltest du schon noch schreiben.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Marius,
> Hallo
>
> > >
> >
> [mm]0\le(a_{i}b_{r})^{2}-2\cdot(a_{i}b_{r})\cdot(a_{r}b_{i})+(a_{r}b_{i})^{2}[/mm]
> > >
> > > Nun wieder du.
> > >
> > [mm]0\le \left(a_rb_i - a_ib_r\right)^2[/mm]
> >
> > Das dürfte für alle reellen Zahlen zutreffen, reicht
> das
> > schon?
>
> Ja, ein Quadrat kann doch Minimal Null werden, das solltest
> du schon noch schreiben.
die "Reellheit" sollte man aber nicht vergessen (das kann sein, dass Dir
das "egal" war, weil er es selbst vorher erwähnte, aber man kann es ja
nicht oft genug sagen - im Komplexen ist das nämlich sicher unwahr, wie
alleine schon [mm] $i\,$ [/mm] mit [mm] $i^2=-1\;<\;0$ [/mm] zeigt).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Sa 02.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Marcel
>
> die "Reellheit" sollte man aber nicht vergessen (das kann
> sein, dass Dir
> das "egal" war, weil er es selbst vorher erwähnte, aber
> man kann es ja
> nicht oft genug sagen - im Komplexen ist das nämlich
> sicher unwahr, wie
> alleine schon [mm]i\,[/mm] mit [mm]i^2=-1\;<\;0[/mm] zeigt).
Das stimmt, das sollte man stärker hervorheben.
>
> Gruß,
> Marcel
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Do 31.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass für alle Zahlen a, b [mm]$\in \IC$[/mm] gilt:
> [mm]$\left|a + b\right| \le \left|a\right|[/mm] + [mm]\left|b\right|[/mm]
> Meine Idee war:
> [mm]a= a_r + a_i * j[/mm]
> [mm]b= b_r + a_i * j[/mm]
es geht übrigens (relativ schnell) etwas einfacher:
1. Warum gilt $|u| [mm] \le [/mm] |v|$ [mm] $\iff$ $|u|^2 \le |v|^2$ [/mm] für alle komplexen [mm] $u,v\,$?
[/mm]
2. Begründe [mm] $|z|^2=z*\overline{z}$ ($\overline{z}$ [/mm] ist die zu [mm] $z\,$ [/mm] konjugiert komplexe Zahl)
3.) Damit gilt:
[mm] $|a+b|\le [/mm] |a|+|b|$ [mm] $\iff$ $|a+b|^2 \le |a|^2+2|ab|+|b|^2\,.$
[/mm]
Es reicht also, die rechte Ungleichung zu beweisen (mit [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] ergibt sich
dann die Behautpung!)
Und hier kann man noch
[mm] $|a+b|^2=(a+b)*\overline{(a+b)}=(a+b)*(\overline{a}+\overline{b})$
[/mm]
benutzen, dann kommt man drauf, dass nur noch
[mm] $\overline{a}b+a\overline{b}\;\le\;2|ab|$
[/mm]
zu begründen ist, bzw.
[mm] $\overline{a\overline{b}}+a\overline{b}\;\le\;2|ab|\;=\;2|a\overline{b}|\,.$
[/mm]
Letzteres der linken Seite "kennt" man irgendwie (meist) schon (was ist die
Summe einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen?)...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 31.10.2013 | | Autor: | jayw |
> Hallo,
>
> > Zeigen Sie, dass für alle Zahlen a, b [mm]$\in \IC$[/mm] gilt:
> > [mm]$\left|a + b\right| \le \left|a\right|[/mm] + [mm]\left|b\right|[/mm]
> > Meine Idee war:
> > [mm]a= a_r + a_i * j[/mm]
> > [mm]b= b_r + a_i * j[/mm]
>
> es geht übrigens (relativ schnell) etwas einfacher:
> 1. Warum gilt [mm]|u| \le |v|[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]|u|^2 \le |v|^2[/mm] für alle
> komplexen [mm]u,v\,[/mm]?
Weil der Betrag aus [mm] \IR [/mm] i
> 2. Begründe [mm]|z|^2=z*\overline{z}[/mm] ([mm]\overline{z}[/mm] ist die zu
> [mm]z\,[/mm] konjugiert komplexe Zahl)
>
> 3.) Damit gilt:
>
> [mm]|a+b|\le |a|+|b|[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]|a+b|^2 \le |a|^2+2|ab|+|b|^2\,.[/mm]
>
> Es reicht also, die rechte Ungleichung zu beweisen (mit
> [mm]\Longleftarrow[/mm] ergibt sich
> dann die Behautpung!)
> Und hier kann man noch
>
> [mm]|a+b|^2=(a+b)*\overline{(a+b)}=(a+b)*(\overline{a}+\overline{b})[/mm]
>
> benutzen, dann kommt man drauf, dass nur noch
>
> [mm]\overline{a}b+a\overline{b}\;\le\;2|ab|[/mm]
Verstanden. Ich wäre allerdings nicht auf die folgende Umformung gekommen... :)
> zu begründen ist, bzw.
>
> [mm]\overline{a\overline{b}}+a\overline{b}\;\le\;2|ab|\;=\;2|a\overline{b}|\,.[/mm]
>
> Letzteres der linken Seite "kennt" man irgendwie (meist)
> schon (was ist die
> Summe einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert
> komplexen?)...
Damit wäre dann
[mm] Re(a\overline{b}) \le |a\overline{b}|
[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Do 31.10.2013 | | Autor: | leduart |
HALLO
WAS IST JETZT DIE FRAGE?
bitte lösche alles unnötige in den Zitaten, denn so find ich nicht mehr durch.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Fr 01.11.2013 | | Autor: | jayw |
Hat sich durch Marcels Antwort erledigt. Danke für deine Mühe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Zeigen Sie, dass für alle Zahlen a, b [mm]$\in \IC$[/mm] gilt:
> > > [mm]$\left|a + b\right| \le \left|a\right|[/mm] + [mm]\left|b\right|[/mm]
> > > Meine Idee war:
> > > [mm]a= a_r + a_i * j[/mm]
> > > [mm]b= b_r + a_i * j[/mm]
> >
> > es geht übrigens (relativ schnell) etwas einfacher:
> > 1. Warum gilt [mm]|u| \le |v|[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]|u|^2 \le |v|^2[/mm] für
> alle
> > komplexen [mm]u,v\,[/mm]?
> Weil der Betrag aus [mm]\IR[/mm] i
??? Die richtige Begründung ist etwa, dass $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] (streng) wachsend
ist auf [mm] $[0,\infty)\,.$
[/mm]
> > 2. Begründe [mm]|z|^2=z*\overline{z}[/mm] ([mm]\overline{z}[/mm] ist die
> zu
> > [mm]z\,[/mm] konjugiert komplexe Zahl)
> >
> > 3.) Damit gilt:
> >
> > [mm]|a+b|\le |a|+|b|[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]|a+b|^2 \le |a|^2+2|ab|+|b|^2\,.[/mm]
> >
>
> > Es reicht also, die rechte Ungleichung zu beweisen (mit
> > [mm]\Longleftarrow[/mm] ergibt sich
> > dann die Behautpung!)
> > Und hier kann man noch
> >
> >
> [mm]|a+b|^2=(a+b)*\overline{(a+b)}=(a+b)*(\overline{a}+\overline{b})[/mm]
> >
> > benutzen, dann kommt man drauf, dass nur noch
> >
> > [mm]\overline{a}b+a\overline{b}\;\le\;2|ab|[/mm]
> Verstanden. Ich wäre allerdings nicht auf die folgende
> Umformung gekommen... :)
Übungssache. 
> > zu begründen ist, bzw.
> >
> >
> [mm]\overline{a\overline{b}}+a\overline{b}\;\le\;2|ab|\;=\;2|a\overline{b}|\,.[/mm]
> >
> > Letzteres der linken Seite "kennt" man irgendwie (meist)
> > schon (was ist die
> > Summe einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert
> > komplexen?)...
>
> Damit wäre dann
> [mm]Re(a\overline{b}) \le |a\overline{b}|[/mm]
Genau, und das hast Du schon (ähnlich) woanders hier im Thread gelesen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Fr 01.11.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
> > > es geht übrigens (relativ schnell) etwas einfacher:
> > > 1. Warum gilt [mm]|u| \le |v|[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]|u|^2 \le |v|^2[/mm] für
> > alle
> > > komplexen [mm]u,v\,[/mm]?
> > Weil der Betrag aus [mm]\IR[/mm] i
Da ist irgendwas verloren gegangen von meinem Text.... Es sollte heißen:
Weil der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle Zahl ist und wenn die Ungleichung für zwei reelle Zahlen wahr ist, dann ist sie natürlich auch für deren Quadrate wahr. Deine Begründung klingt aber irgendwie eleganter ;)
> ??? Die richtige Begründung ist etwa, dass [mm]x \mapsto x^2[/mm]
> (streng) wachsend
> ist auf [mm][0,\infty)\,.[/mm]
[...]
> > Damit wäre dann
> > [mm]Re(a\overline{b}) \le |a\overline{b}|[/mm]
>
> Genau, und das hast Du schon (ähnlich) woanders hier im
> Thread gelesen!
> Gruß,
> Marcel
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Fr 01.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > > 1. Warum gilt [mm]|u| \le |v|[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]|u|^2 \le |v|^2[/mm]
> für
> > > alle
> > > > komplexen [mm]u,v\,[/mm]?
> > > Weil der Betrag aus [mm]\IR[/mm] i
> Da ist irgendwas verloren gegangen von meinem Text.... Es
> sollte heißen:
> Weil der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle Zahl ist
> und wenn die Ungleichung für zwei reelle Zahlen wahr ist,
> dann ist sie natürlich auch für deren Quadrate wahr.
Das stimmt im Allgemeinen nur für nichtnegative reelle Zahlen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Fr 01.11.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
> > Weil der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle Zahl
> ist
> > und wenn die Ungleichung für zwei reelle Zahlen wahr ist,
> > dann ist sie natürlich auch für deren Quadrate wahr.
> Das stimmt im Allgemeinen nur für nichtnegative reelle
> Zahlen.
Okay dann:
Weil der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle, positive Zahl ist
und wenn die Ungleichung für zwei reelle, positive Zahlen wahr ist,
dann ist sie natürlich auch für deren Quadrate wahr.
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Fr 01.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Okay dann:
> Weil der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle, positive
> Zahl ist
Zumindest eine nichtnegative reelle Zahl ist der Betrag einer komplexen Zahl. Er kann auch 0 sein.
> und wenn die Ungleichung für zwei reelle, positive Zahlen
> wahr ist,
> dann ist sie natürlich auch für deren Quadrate wahr.
> ?
Ja.
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