Ungleichung für erzeugende Fkt < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | X sei eine Zufallsvariable, die Werte in [mm] \mathbb{N}_{0} [/mm] annimmt, und g die erzeugende Funktion, also [mm] g(s)=E(s^{X})=\sum \limits_{k=0}^{\infty}s^{k}P(X=k).
[/mm]
Es gilt [mm] \frac{1-g(s)}{1-s} [/mm] = [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty} P(X>k)s^{k}. [/mm] |
Ich arbeite gerade am Beweis eines Satzes und bin auf die oben genannte Ungleichung gestoßen. Ich habe Unmengen an Umformungen probiert und komme einfach nicht darauf, wie es funktionieren soll. Hat jemand eine Idee für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
ich seh da zwar keine Ungleichung, sondern nur ne Gleichung, aber fangen wir mal an:
[mm] $(1-s)*\sum \limits_{k=0}^{\infty} P(X>k)s^{k} [/mm] = [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty} P(X>k)s^{k} [/mm] - [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty} P(X>k)s^{k+1}$
[/mm]
$= [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty} P(X>k)s^{k} [/mm] - [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty} \left(P(X>k+1) + P(X=k+1)\right)s^{k+1}$
[/mm]
$= [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty} P(X>k)s^{k} [/mm] - [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty} P(X>k+1)s^{k+1} [/mm] - [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty} P(X=k+1)s^{k+1}$
[/mm]
Na mach mal weiter, nu stehts ja fast da.
MFG,
Gono.
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Erst mal vielen Dank für deine Hilfe, den Ansatz hatte ich tatsächlich noch nicht verfolgt. Es geht tatsächlich um eine Ungleichung, ich hatte allerdings vergessen den zweiten Teil zu posten. Ich habe als Voraussetzung nämlich noch [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty} \log(k+2)P(X=k) \leq D_{1} [/mm] < [mm] \infty [/mm] gegeben, und die ganze Gleichung/ Ungleichung lautet [mm] \frac{1-g(s)}{1-s} [/mm] = [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty}P(X>k)s^{k} \leq D_{1}\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\log(k+2)}s^{k}.
[/mm]
Den ersten Teil hab ich ja jetzt, den zweiten habe ich mal umgeformt und habe versucht [mm] \sum \limits_{k=0}^{\infty}P(X>k)\log(k+2) \leq D_{1} [/mm] zu zeigen. Das würde ja aber nur Sinn machen, wenn P(X>k) [mm] \leq [/mm] P(X=k) gelten würde. Habe ich in meiner Umformung einen Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 19.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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