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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Ungleichung für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
2! * 4! * ... * (2n)! [mm] \ge [(n+1)!]^n [/mm] |
Hallo,
hat jemand einen Tipp für mich, wie ich hier ansetzen kann?
Per Induktion habe ich versucht, ist aber sinnlos, da man schnell ab einem gewissen Punkt nicht weiterkommt.
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Hallo,
mache dir zunächst klar, dass stets
[mm] (a-k)!*(a+k)!>(a!)^2 [/mm] (k>0)
gilt. Das rechnet man direkt nach. Der Term auf der linken Seite wächst dabei, wenn k größer wird. Und dieses Prinzip sollte sich auf deine Aufgabe übertragen lassen, um sie ebenfalls direkt und ohne Induktion zu zeigen. Du hast n Faktoren auf der linken Seite (sofern du die Fakultäten nicht antastest), dies entspricht der Potenz auf der rechten Seite.
Gruß, Diophant
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Ich habe mal die Bedingungen für die Ungleichung so umgeändert, wie ich sie brauche, da ich mit der Fakultät aus einer negativen Zahl nichts anfangen kann, und wir das auch nicht hatten.
Also z.z.: (a-k)! * (a+k)! [mm] \ge (a!)^2 [/mm] für a [mm] \ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0
Beweis:
(a+k)! * (a-k)! = [mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1) }_{k-Faktoren} \underbrace{ * a * (a-1) * ... * 1}_{= a!} \underbrace{ * (a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{= (a-k)!}
[/mm]
Es gilt:
[mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \ge \underbrace{a * (a-1) * ... * (a-k+1)}_{k-Faktoren}
[/mm]
[mm] \gdw \underbrace{\underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \underbrace{(a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{(a-k)!}}_{a-Faktoren} \ge [/mm] a!
[mm] \Rightarrow [/mm] (a+k)! * (a-k)! [mm] \ge (a!)^2
[/mm]
Ist das so richtig?
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Hallo,
> Ich habe mal die Bedingungen für die Ungleichung so
> umgeändert, wie ich sie brauche, da ich mit der Fakultät
> aus einer negativen Zahl nichts anfangen kann, und wir das
> auch nicht hatten.
das war auch nicht so gemeint, sondern meiner Schludrigkeit geschuldet. Natürlich muss k zwiscehn 0 und a liegen.
>
> Also z.z.: (a-k)! * (a+k)! [mm]\ge (a!)^2[/mm] für a [mm]\ge[/mm] k [mm]\ge[/mm] 0
>
> Beweis:
>
> (a+k)! * (a-k)! = [mm]\underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1) }_{k-Faktoren} \underbrace{ * a * (a-1) * ... * 1}_{= a!} \underbrace{ * (a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{= (a-k)!}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]\underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \ge \underbrace{a * (a-1) * ... * (a-k+1)}_{k-Faktoren}[/mm]
>
> [mm]\gdw \underbrace{\underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \underbrace{(a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{(a-k)!}}_{a-Faktoren} \ge[/mm]
> a!
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a+k)! * (a-k)! [mm]\ge (a!)^2[/mm]
>
> Ist das so richtig?
ich sehe es noch nicht so ganz. Könntest du das noch etwas erläutern?
Ich habe auch momentan wenig Zeit. ![[]](/images/popup.gif) Hier hatte ich das (ich heiße dort mittlerweile 'Senior_Emeritus') auch mal angewendet, vielleicht hilft dir dieser Thread zu einer alten russischen IMO-Aufgabe ja auf für den Rest deiner Frage ein Stück weiter.
Ansonsten werde ich später (heute Mittag oder heute Abend) hier wieder vorbeischauen.
Gruß, Diophant
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Ok, die Erläuterungen stehen rechts und in Klammern in der jeweiligen Zeile.
Beweis:
(a+k)! * (a-k)! = [mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1) }_{k-Faktoren} \underbrace{ * a * (a-1) * ... * 1}_{= a!} \underbrace{ * (a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{= (a-k)!} [/mm] (Da a [mm] \ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0 gilt, enthält (a+k)! auch a!. Um das zu verdeutlichen habe ich die Fakultäten in Pünkchtenschreibweise hingeschrieben.)
Es gilt:
[mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \ge \underbrace{a * (a-1) * ... * (a-k+1)}_{k-Faktoren} [/mm] (Auf beiden Seiten stehen k-Faktoren, und jeder Faktor auf der linken Seite ist größer gleich jedem Faktor auf der rechten Seite, daher gilt diese Ungleichung. Man beachte, dass a [mm] \ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0 gilt!)
[mm] \gdw \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \underbrace{(a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{(a-k)!} \ge [/mm] a! (Diese Ungleichung entsteht, wenn ich die Ungleichung darüber mit (a-k)! auf beiden Seiten multipliziere. Dann habe ich auf der rechten Seite a! stehen, da a! = a * (a-1) * ... * (a-k+1) * (a-k)!
Auf der linken Seite steht [mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \underbrace{(a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{(a-k)!}.
[/mm]
Wir haben k-Faktoren und a-k-Faktoren, insgesamt also a-Faktoren.
Wenn wir dies jetzt anwenden auf unsere allererste Gleichung (ganz oben), erhalten wir
(a+k)! * (a-k)! = [mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1) }_{k-Faktoren} \underbrace{ * a * (a-1) * ... * 1}_{= a!} \underbrace{ * (a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{= (a-k)!} [/mm] = [mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1) }_{k-Faktoren} \underbrace{ * (a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{= (a-k)!} \underbrace{ * a * (a-1) * ... * 1}_{= a!} \ge (a!)^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (a+k)! * (a-k)! [mm] \ge (a!)^2
[/mm]
Ist das so richtig?
(Das ist natürlich nicht der komplette Beweis für die Aufgabe, sondern nur ein Teil davon. Ich möchte halt erstmal wissen, ob das überhaupt so richtig ist, was ich gemacht habe.)
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Hallo Blackburn########,
das ist alles richtig. Da Du schon erkannt hast, dass auch links a! enthalten ist, kannst Du Dir etwas Schreibarbeit sparen, indem Du die ganze Ungleichung dadurch teilst.
Übersichtlicher wird die Rechnung mit der Produktschreibweise [mm] a!=\produkt_{k=1}^{a}k [/mm] etc.
Grüße
reverend
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Edit: Man kann das ganze auch per Induktion und ist deutlich einfacher, als das, was ich hier gemacht habe.
Hallo reverend,
danke für den Tipp. :)
Um die Aufgabe zu beweisen (z.z.: [mm] \produkt_{k=1}^{n}(2k)! \ge [(n+1)!]^n), [/mm] benutze ich nun (a+k)! * (a-k)! [mm] \ge (a!)^2
[/mm]
Das Produkt [mm] \produkt_{k=1}^{n}(2k)! [/mm] lässt sich durch wiederholte Anwendung von (a+k)! * (a-k)! schreiben.
Setze a := n+1 , [mm] k_j [/mm] := n - (2j - 1) für j = 1, 2, ..., [mm] \bruch{n+1}{2}.
[/mm]
Falls n eine ungerade Zahl ist, ist n+1 eine gerade Zahl.
Dann gilt:
[mm] \produkt_{k=1}^{n}(2k)! [/mm] = 2! * 4! * 6! * ... * (2n)! = [mm] \underbrace{(n+1-\overbrace{(n-1)}^{k_1})!}_{=2!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1+\overbrace{(n-1)}^{k_1})!}_{=(2n)!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1-\overbrace{(n-3)}^{k_2})!}_{=4!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1+\overbrace{(n-3)}^{k_2})!}_{=(2n-2)!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1-\overbrace{(n-5)}^{k_3})!}_{=6!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1+\overbrace{(n-5)}^{k_3})!}_{=(2n-4)!} [/mm] * ... * [mm] \underbrace{(n+1-\overbrace{(n-(2*\bruch{n+1}{2} - 1))}^{k_\bruch{n+1}{2}})!}_{=(n+1)!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1+\overbrace{(n-(2*\bruch{n+1}{2} - 1))}^{k_\bruch{n+1}{2}})!}_{=(n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(n+1)!} \ge [(n+1)!]^n
[/mm]
Hier muss man ein (n+1)! wegkürzen, weil jede Fakultät nur exakt einmal vorkommen darf. Auf der linken Seite der Ungleichung haben wir n verschiedene Fakultäten stehen, und daher gilt die obige Ungleichung.
Falls n eine gerade Zahl ist, ist n+1 eine ungerade Zahl.
Ungerade Fakultäten dürfen in dem Produkt nicht auftauchen, d.h. wir streichen in der obigen Ungleichung [mm] \underbrace{(n+1-\overbrace{(n-(2*\bruch{n+1}{2} - 1))}^{k_\bruch{n+1}{2}})!}_{=(n+1)!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1+\overbrace{(n-(2*\bruch{n+1}{2} - 1))}^{k_\bruch{n+1}{2}})!}_{=(n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(n+1)!}
[/mm]
und somit folgt auch die Behauptung.
Stimmt das so?
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Hallo Blackburn,
diese Frage ist mir durchgegangen, und dem Rest des Forums offenbar auch.
Alles richtig. Ich vermute, Du hast den Zettel aber auch inzwischen abgegeben, wie Du in einem andern Thread schon schriebst, oder?
Grüße
reverend
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Ja, den Zettel habe ich schon abgegeben.
Aber ich habe dann doch den induktiven Beweis abgegeben.
Und danke für die Hilfe! :)
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