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Forum "Abiturvorbereitung" - Ungleichung beweisen
Ungleichung beweisen < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Di 19.02.2008
Autor: Teufel

Hallo, Leute!

Ich soll folgende Ungleichung beweisen:
ln(kx) [mm] \le [/mm] kx-1 für alle x,k>0

Da k>0 und x>0 habe ich kx einfach mal zu z zusammengefasst, das auch immer >0 ist.
kx=z

[mm] \Rightarrow [/mm] ln(z) [mm] \le [/mm] z-1 ist zu beweisen.

Könnte man nun mit den Schaubildern argumentieren, also dass, wenn man beide Seiten der Ungleichung als Funktionen auffasst, g(z)=z-1 Tangente an h(z)=ln(z) im Punkt B(1|0) ist? (g(1)=h(1) und g'(1)=h'(1))

Oder muss man bei Beweisen weiter gehen/Sachen noch genauer machen?

        
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Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Di 19.02.2008
Autor: Kroni

Hi,

du kannst theoretisch etwas über die Steigung aussagen, nämlich dass ln(x) langsamer wächst als x. Und wenn ab einem gewissen [mm] x_0 [/mm] gilt, dass [mm] x_0>=ln(x_0), [/mm] dann bist du ja schon fertig, da x schneller wächst als [mm] ln(x_0) [/mm] und da beide streng monton wachsend sind, kann ln(x) x nicht mehr überholen.

LG

Kroni

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Ungleichung beweisen: Extremwertberechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Di 19.02.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Teufel!


Führe für [mm] $f_k(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln(k*x)-k*x+1$ [/mm] eine Extremwertberechnung durch und zeige, dass für das (globale) Maximum gilt: [mm] $y_{\max} [/mm] \ = \ [mm] f_k(x_{\max}) [/mm] \ = \ 0$ .

Gruß vom
Roadrunner


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Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 Di 19.02.2008
Autor: Teufel

Die Variante finde ich gut, vielen Dank an euch beide!
Also müsste ich bei meiner Variante aber noch weiter gehen, oder? Ja, das mit der Monotonie wäre auch kein Ding gewesen, Problem ist nur, dass wir so selten Beweise machen und ich nicht weiß, wie genau man da arbeiten muss (natürlich am besten immer VERDAMMT genau, aber von der Zeit her muss es ja dann auch drauf ankommen :))

Also danke nochmal!

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