Ungleichung, Tschebytscheff < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Di 19.04.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei [mm] T_{n+1}=2^n*(x-x_0)*...*(x-x_n) [/mm] mit [mm] x_i=cos(\frac{2i+1}{2(n+1)}\pi) [/mm] für alle i=0,..,n. (Linearfaktorisierung vom (n+1)-ten Tschebytscheff-Polynom).
Zeige: [mm] ||T_{n+1}||_{\infty}\le 2^n||(x-y_0)*...*(x-y_n)||_{\infty} [/mm] für alle [mm] y_0,...,y_n\in[-1,1]. [/mm] |
Hi!
Hier komme ich irgendwie nicht weiter. Als Hinweis wurde gegeben, dass man annehmen soll, dass die Ungleichung nicht stimmt und dann das Polynom [mm] T_{n+1}(x)-2^n*(x-y_0)*...*(x-y_n) [/mm] betrachten soll. Aber irgendwie erkenne ich da nicht viel.
Ich weiß nur, dass [mm] T_{n+1}(x)-2^n*(x-y_0)*...*(x-y_n) [/mm] höchstens vom Grad n ist und damit dann auch höchstens n Nullstellen hat. Wenn ich annehme, dass die Ungleichung für bestimmte [mm] y_i [/mm] nicht gilt, dann folgt auch nur, dass
[mm] ||T_{n+1}(x)-2^n*(x-y_0)*...*(x-y_n)||_{\infty}\ge||T_{n+1}||_{\infty}-2^n||(x-y_0)*...*(x-y_n)||_{\infty}>0 [/mm] gilt und [mm] T_{n+1}(x)-2^n*(x-y_0)*...*(x-y_n) [/mm] daher nicht konstant sein kann.
Weiß da jemand mehr als ich?
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