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Forum "Differentiation" - Ungleichung Mittelwertsatz
Ungleichung Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ungleichung Mittelwertsatz: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:05 Mo 01.02.2010
Autor: TUDarmstadt

Aufgabe
Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass folgende Ungleichung für alle [mm] x\in(0,\pi/2) [/mm] gilt:

xcos(x)<sin(x)

Leider finde ich keinen Ansatz...
Um den Mittelwertsatz anwenden zu können muss ich die Ungleichung in zwei Funktionen umformen und dann in den MWS einsetzen:
a<b
[mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=f'\varepsilon [/mm]

        
Bezug
Ungleichung Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Mo 01.02.2010
Autor: fred97


> Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass folgende
> Ungleichung für alle [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm] gilt:
>  
> xcos(x)<sin(x)
>  Leider finde ich keinen Ansatz...
>  Um den Mittelwertsatz anwenden zu können muss ich die
> Ungleichung in zwei Funktionen umformen und dann in den MWS
> einsetzen:
>  a<b
>  [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=f'\varepsilon[/mm]  



Für x [mm] \ge [/mm] 0 setze $f(x) = sin(x)-x cos(x)$

Ist x [mm] \in(0, \pi/2), [/mm] so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein [mm] \xi [/mm] zwischen 0 und x mit

            $f(x) = f(x)-f(0) = [mm] f'(\xi)*x$ [/mm]

Hilft das ?

FRED

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Bezug
Ungleichung Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:20 Mo 01.02.2010
Autor: TUDarmstadt

Mir ist diese Form des MWS nicht bekannt, ist es eine besondere Form des MWS oder hast du den MWS umgeformt?

> Ist x [mm]\in(0, \pi/2),[/mm] so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein
> [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und x mit
>  
> [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]

Unverständlich ist mir der Schritt: [mm] f'(\xi)*x [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Mo 01.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo TUDarmstadt,

> Mir ist diese Form des MWS nicht bekannt, ist es eine
> besondere Form des MWS oder hast du den MWS umgeformt?

Letzteres, und zwar wie?

Schaue genauer hin, es ist nur 1 Schritt. [lupe]

>  
> > Ist x [mm]\in(0, \pi/2),[/mm] so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein
> > [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und x mit
>  >  
> > [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]
>  
> Unverständlich ist mir der Schritt: [mm]f'(\xi)*x[/mm]  

Vergleiche nochmal scharf mit der dir bekannten Form, bedenke $x=x-0$


Gruß

schachuzipus


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Ungleichung Mittelwertsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Mo 01.02.2010
Autor: fred97


> Mir ist diese Form des MWS nicht bekannt, ist es eine
> besondere Form des MWS oder hast du den MWS umgeformt?



Weder noch ! Eine gewisse Flexibilität bei Bezeichnungsweisen zahlt sich aus.

Siehst Du es, wenn ich Dir rate, b=x und a=0 zu setzen ?

FRED


>  
> > Ist x [mm]\in(0, \pi/2),[/mm] so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein
> > [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und x mit
>  >  
> > [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]
>  
> Unverständlich ist mir der Schritt: [mm]f'(\xi)*x[/mm]  


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Ungleichung Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Mo 01.02.2010
Autor: TUDarmstadt

Okay, mir ist nun klar wie ich auf die Formel:

[mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]

komme...aber nun bleibe ich wieder auf der Strecke, wieso setzen wir b=x statt [mm] b=\pi/2 [/mm] ?

> Weder noch ! Eine gewisse Flexibilität bei
> Bezeichnungsweisen zahlt sich aus.
>  
> Siehst Du es, wenn ich Dir rate, b=x und a=0 zu setzen ?
> >  

> > > Ist x [mm]\in(0, \pi/2),[/mm] so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein
> > > [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und x mit

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Ungleichung Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mo 01.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Okay, mir ist nun klar wie ich auf die Formel:
>  
> [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]
>  
> komme...aber nun bleibe ich wieder auf der Strecke, wieso
> setzen wir b=x statt [mm]b=\pi/2[/mm] ?

Damit es funktioniert - sieh mal - wir wollen mit Hilfe des Mittelwertsatzes eine Aussage für alle f(x) machen und nicht nur für [mm] f(\pi/2). [/mm] Deswegen macht man das mit einem allgemeinen [mm] x\in(0,\pi/2). [/mm]
Übrigens weißt du nun auch nach dem Mittelwertsatz, dass [mm] \xi\in(0,\pi/2). [/mm]

Das heißt:

Für jedes [mm] x\in(0,\pi/2) [/mm] kannst du ein [mm] \xi\in(0,\pi/2) [/mm] finden, so dass

[mm] $\sin(x)-x*\cos(x) [/mm] = f(x) = [mm] f'(\xi)*x$ [/mm]

ist. Überlege, was du zeigen willst! Wenn [mm] x*\cos(x) [/mm] < [mm] \sin(x) [/mm] gelten soll, müssen wir also zeigen, dass f(x) > 0 für alle [mm] x\in(0,\pi/2). [/mm]
Wenn es dir jetzt also gelingt, zu zeigen, dass die rechte Seite $ [mm] f'(\xi)*x$ [/mm] obiger Gleichung für [mm] x\in(0,\pi/2) [/mm] größer als Null ist, bist du fertig.

Wichtig: Dafür solltest du auch f'(x) wirklich ausrechnen!

Grüße,
Stefan

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Ungleichung Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Mo 01.02.2010
Autor: TUDarmstadt

Das wir statt 0 und [mm] \pi/2 [/mm] in den MWS einzusetzen nun X einsetzen ist mir nun ersichtlich.

> > [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]
>  >  
> > komme...aber nun bleibe ich wieder auf der Strecke, wieso
> > setzen wir b=x statt [mm]b=\pi/2[/mm] ?

Wir möchten beweisen, dass [mm]xcos(x)<sin(x)[mm] gilt, wir wandeln diese Ungleichung in eine Funktion und definieren:
[mm]f(x)>0[mm] - die Ungleichung stimmt
[mm][mm] f(x)\le0[/mm] [mm] - die Ungleichung ist falsch

Die Rechnung sieht dann aus wie folgt:
[mm]f(x)=sin(x)-xcos(x)[/mm]
[mm]f'(x)=cos(x)-(1*cos(x)-xsin(x))[/mm]
[mm]f'(\xi)*x=xsin(x)*x=x^2sin(x)[/mm]

Wie kann ich hier nun erkennen, dass die Funktion >0 ist?

> Überlege, was du zeigen willst! Wenn [mm]x*\cos(x)[/mm] <
> [mm]\sin(x)[/mm] gelten soll, müssen wir also zeigen, dass f(x) > 0
> für alle [mm]x\in(0,\pi/2).[/mm]
>  Wenn es dir jetzt also gelingt, zu zeigen, dass die rechte
> Seite [mm]f'(\xi)*x[/mm] obiger Gleichung für [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]
> größer als Null ist, bist du fertig.
>  
> Wichtig: Dafür solltest du auch f'(x) wirklich
> ausrechnen!
>  
> Grüße,
>  Stefan


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Ungleichung Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Mo 01.02.2010
Autor: leduart

Hallo
Welche Werte nimmt denn [mm] f'(\xi)*x [/mm]  (das ist NICHT f'(x)*x))
im betrachteten Bereich an?
Gruss leduart

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Ungleichung Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Di 02.02.2010
Autor: TUDarmstadt

Okay, soweit ich verstanden habe, ist [mm]f'(\xi)*x[/mm]:

$ f(x) = f(x)-f(0) = [mm] f'(\xi)\cdot{}x [/mm] $

Also [mm] $f'(\xi)\cdot{}x=sin(x)-xcos(x)-(sin(x)-0*cos(x)=-xcos(x)$ [/mm]

> Hallo
> Welche Werte nimmt denn [mm]f'(\xi)*x[/mm]  

Stimmt das soweit?

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Ungleichung Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Di 02.02.2010
Autor: fred97


> Okay, soweit ich verstanden habe, ist [mm]f'(\xi)*x[/mm]:
>  
> [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)\cdot{}x[/mm]
>  
> Also
> [mm]f'(\xi)\cdot{}x=sin(x)-xcos(x)-(sin(x)-0*cos(x)=-xcos(x)[/mm]
>  
> > Hallo
> > Welche Werte nimmt denn [mm]f'(\xi)*x[/mm]  
>
> Stimmt das soweit?

Ich kanns mir nicht verkneifen, aber in Deinem Profil steht : "Math. Background: Mathe-Lehrer Sek. II "

Ich kanns nicht glauben. Aber wenn es stimmt, dann mußt Du doch in der Lage sein von obiger Funktion f die Ableitung $f'$ zu bestimmen.

Wenn Du das geschafft hast mußt Du noch [mm] f'(\xi) [/mm] mit x multiplizieren.

Das muß doch machbar sein.

FRED

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Ungleichung Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 Di 02.02.2010
Autor: TUDarmstadt


> Ich kanns mir nicht verkneifen, aber in Deinem Profil steht
> : "Math. Background: Mathe-Lehrer Sek. II "

Mein Studium liegt nun über 20 Jahre zurück.
Wenn man aus dem Stoff draußen ist, bleibt wenig in Erinnerung.
An Hessischen Gymnasien werden keine Ungleichungen mittels differentiation bewiesen;)

> Ich kanns nicht glauben. Aber wenn es stimmt, dann mußt Du
> doch in der Lage sein von obiger Funktion f die Ableitung
> [mm]f'[/mm] zu bestimmen.

Klar, kein Problem:
$ [mm] f'(x)=cos(x)-(1\cdot{}cos(x)-xsin(x)) [/mm] $

> Wenn Du das geschafft hast mußt Du noch [mm]f'(\xi)[/mm] mit x
> multiplizieren.

Was genau ist nun mein [mm]f'(\xi)[/mm], kann mir das jemand erklären?

Bezug
                                                                                        
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Ungleichung Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Di 02.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> > Ich kanns nicht glauben. Aber wenn es stimmt, dann mußt Du
> > doch in der Lage sein von obiger Funktion f die Ableitung
> > [mm]f'[/mm] zu bestimmen.
>  
> Klar, kein Problem:
>  [mm]f'(x)=cos(x)-(1\cdot{}cos(x)-xsin(x))[/mm]

Es geht doch ;-)
Da kommt raus:

$f'(x) = [mm] x*\sin(x)$ [/mm]

(ohne Minus!).
  

> Was genau ist nun mein [mm]f'(\xi)[/mm], kann mir das jemand
> erklären?

Na, da setzt du jetzt einfach in f'(x) die Variable [mm] \xi [/mm] ein:

[mm] $f'(\xi) [/mm] = [mm] \xi*\sin(\xi)$. [/mm]

[mm] \xi [/mm] ist dabei eben einfach irgendeine Zwischenstelle, [mm] \xi\in(0,x), [/mm] die du durch den Mittelwertsatz (siehe obere Posts) erhältst.

Wir wissen nun: Für alle [mm] x\in(0,\pi/2) [/mm] gibt es ein [mm] \xi\in(0,\pi/2), [/mm] sodass gilt:

[mm] $\sin(x) [/mm] - [mm] x*\cos(x) [/mm] = f(x) = [mm] f'(\xi)*x [/mm] = [mm] \xi*\sin(\xi)*x$ [/mm]

Nun nochmal: Wir wollen zeigen: [mm] $\sin(x) [/mm] - [mm] x*\cos(x) [/mm] > 0$, denn dann folgt: [mm] $\sin(x) [/mm] > [mm] x*\cos(x)$. [/mm]
Dazu reicht es also aus, wenn wir zeigen, dass [mm] $\xi*\sin(\xi)*x [/mm] > 0$, weil das oben ja alles mit Gleichheitszeichen verbunden ist.

Nun schaue genau hin: Aus welchen Bereichen sind x und [mm] \xi, [/mm] welche Werte kann demzufolge [mm] \sin(\xi) [/mm] annehmen, was gilt dann für das Produkt, ...

... und dann steht es da :-)

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                                                                
Bezug
Ungleichung Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Di 02.02.2010
Autor: TUDarmstadt

Zunächst herzlichen Dank für die präzise und ausführliche Erläuterung!


> Wir wissen nun: Für alle [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm] gibt es ein
> [mm]\xi\in(0,\pi/2),[/mm] sodass gilt:
>  
> [mm]\sin(x) - x*\cos(x) = f(x) = f'(\xi)*x = \xi*\sin(\xi)*x[/mm]
>  
> Nun nochmal: Wir wollen zeigen: [mm]\sin(x) - x*\cos(x) > 0[/mm],
> denn dann folgt: [mm]\sin(x) > x*\cos(x)[/mm].
>  Dazu reicht es also
> aus, wenn wir zeigen, dass [mm]\xi*\sin(\xi)*x > 0[/mm], weil das
> oben ja alles mit Gleichheitszeichen verbunden ist.
>  
> Nun schaue genau hin: Aus welchen Bereichen sind x und [mm]\xi,[/mm]
> welche Werte kann demzufolge [mm]\sin(\xi)[/mm] annehmen, was gilt
> dann für das Produkt, ...

Okay, da wir definiert haben, dass $ [mm] \xi\in(0,\pi/2) [/mm] $ bedeutet dies:
$ [mm] sin(\xi) [/mm] $ kann ausschließlich Werte zwischen 0 und 1 annehmen.

Hier offenbar sich nun ein Widerspruch, denn $ x $ als auch $ [mm] \xi [/mm] $ können den Wert $ 0 $ annehmen und sobald ein komponent den Wert $ 0 $ annimmt, ist das gesammte Produkt $ 0 $ wodurch sich die Ungleichung als falsch erweist - oder irre ich mich?
Denn definiert haben wir:
$ [mm] \xi\cdot{}\sin(\xi)\cdot{}x [/mm] > 0 $

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Ungleichung Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Di 02.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> > Wir wissen nun: Für alle [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm] gibt es ein
> > [mm]\xi\in(0,\pi/2),[/mm] sodass gilt:
>  >  
> > [mm]\sin(x) - x*\cos(x) = f(x) = f'(\xi)*x = \xi*\sin(\xi)*x[/mm]
>  
> >  

> > Nun nochmal: Wir wollen zeigen: [mm]\sin(x) - x*\cos(x) > 0[/mm],
> > denn dann folgt: [mm]\sin(x) > x*\cos(x)[/mm].
>  >  Dazu reicht es
> also
> > aus, wenn wir zeigen, dass [mm]\xi*\sin(\xi)*x > 0[/mm], weil das
> > oben ja alles mit Gleichheitszeichen verbunden ist.
>  >  
> > Nun schaue genau hin: Aus welchen Bereichen sind x und [mm]\xi,[/mm]
> > welche Werte kann demzufolge [mm]\sin(\xi)[/mm] annehmen, was gilt
> > dann für das Produkt, ...
>  
> Okay, da wir definiert haben, dass [mm]\xi\in(0,\pi/2)[/mm] bedeutet
> dies:
>  [mm]sin(\xi)[/mm] kann ausschließlich Werte zwischen 0 und 1
> annehmen.

Genau, wegen [mm] \xi\in(0,\pi/2) [/mm] ist [mm] \sin(\xi)\in(0,1). [/mm]

> Hier offenbar sich nun ein Widerspruch, denn [mm]x[/mm] als auch [mm]\xi[/mm]
> können den Wert [mm]0[/mm] annehmen.

Nein! Wieso denn? Es gilt doch [mm] x,\xi\in(0,\pi/2), [/mm] und das offene Intervall [mm] (0,\pi/2) [/mm] ist definiert als:

[mm] $(0,\pi/2):=\{x\in\IR|0\red{<}x<\pi/2\}$. [/mm]

Also gilt auch [mm] $x,\xi [/mm] > 0.$
Damit ist insgesamt das Produkt aus den drei Faktoren [mm] x,\xi [/mm] und [mm] \sin(\xi) [/mm] immer größer als 0, und die Behauptung ist gezeigt.

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                                                                                
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Ungleichung Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Di 02.02.2010
Autor: TUDarmstadt

Alles ist mir verständlich, doch wann wurde definiert:

[mm]x,\xi > 0.[/mm]

Die aufgabenstellung lautet:

$ [mm] x\in(0,\pi/2) [/mm] $

Somit kann $ x $ den Wert $ 0 $ annehmen...

Bezug
                                                                                                                        
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Ungleichung Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Di 02.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Alles ist mir verständlich, doch wann wurde definiert:

Das glaube ich nicht. Sonst würdest du diese Frage nicht stellen ;-)

> Die aufgabenstellung lautet:
>  
> [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]
>
> Somit kann [mm]x[/mm] den Wert [mm]0[/mm] annehmen...

Eben nicht!
Ich hatte doch geschrieben: [mm] (0,\pi/2) [/mm] ist ein offenes Intervall, d.h. die beiden Grenzen sind nicht im Intervall enthalten!

[mm] $(0,\pi/2) [/mm] := [mm] \{x\in\IR| 0 \red{<} x < \pi/2\}$ [/mm]

Im Gegensatz dazu:

[mm] $[0,\pi/2] [/mm] := [mm] \{x\in\IR| 0 \red{\le} x \le \pi/2\}$ [/mm]

Dieses Intervall liegt hier aber nicht vor.

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Ungleichung Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Mi 03.02.2010
Autor: TUDarmstadt

Gezeigt werden soll die Ungleichung laut Aufgabenstellung für genau zwei Werte von $ x $ und zwar [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]

Wieso können wir nun aber diese Ungleichung beweisen, ohne diese Werte für $ x $ einzusetzen. Welcher Beweis erlaubt es uns die Werte in ein offenes Intervall zu wandeln?


> > Die aufgabenstellung lautet:
>  >  
> > [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]
> >
> > Somit kann [mm]x[/mm] den Wert [mm]0[/mm] annehmen...
>
> Eben nicht!
>  Ich hatte doch geschrieben: [mm](0,\pi/2)[/mm] ist ein offenes
> Intervall, d.h. die beiden Grenzen sind nicht im Intervall
> enthalten!
>  
> [mm](0,\pi/2) := \{x\in\IR| 0 \red{<} x < \pi/2\}[/mm]
>  
> Im Gegensatz dazu:
>  
> [mm][0,\pi/2] := \{x\in\IR| 0 \red{\le} x \le \pi/2\}[/mm]
>  
> Dieses Intervall liegt hier aber nicht vor.
>  
> Grüße,
>  Stefan


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Ungleichung Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Mi 03.02.2010
Autor: fred97


> Gezeigt werden soll die Ungleichung laut Aufgabenstellung
> für genau zwei Werte von [mm]x[/mm]


Was ist los ??




> und zwar [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]

Ah, jetzt dämmerts mir ! Du verwechselst   [mm](0,\pi/2)[/mm]  mit  [mm]\{0,\pi/2\}[/mm]

Obwohl es schon mehrfach gesagt wurde: die Ungleichung ist zu zeigen für x [mm] \in \IR [/mm] mit:   $0<x< [mm] \ß\bruch{\pi}{2}$ [/mm]


>
> Wieso können wir nun aber diese Ungleichung beweisen, ohne
> diese Werte für [mm]x[/mm] einzusetzen. Welcher Beweis erlaubt es
> uns die Werte in ein offenes Intervall zu wandeln?

Siehe oben


Tu mir noch einen Gefallen, und beantworte mir die Frage , die ich Dir hier

                 https://matheraum.de/read?i=650961

gestellt habe

FRED


>  
>
> > > Die aufgabenstellung lautet:
>  >  >  
> > > [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]
> > >
> > > Somit kann [mm]x[/mm] den Wert [mm]0[/mm] annehmen...
> >
> > Eben nicht!
>  >  Ich hatte doch geschrieben: [mm](0,\pi/2)[/mm] ist ein offenes
>  > Intervall, d.h. die beiden Grenzen sind nicht im

> Intervall
> > enthalten!
>  >  
> > [mm](0,\pi/2) := \{x\in\IR| 0 \red{<} x < \pi/2\}[/mm]
>  >  
> > Im Gegensatz dazu:
>  >  
> > [mm][0,\pi/2] := \{x\in\IR| 0 \red{\le} x \le \pi/2\}[/mm]
>  >  
> > Dieses Intervall liegt hier aber nicht vor.
>  >  
> > Grüße,
>  >  Stefan
>  


Bezug
                                                                                        
Bezug
Ungleichung Mittelwertsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:47 Mi 03.02.2010
Autor: fred97


>
> > Ich kanns mir nicht verkneifen, aber in Deinem Profil steht
> > : "Math. Background: Mathe-Lehrer Sek. II "
>  
> Mein Studium liegt nun über 20 Jahre zurück.
>  Wenn man aus dem Stoff draußen ist, bleibt wenig in
> Erinnerung.
>  An Hessischen Gymnasien werden keine Ungleichungen mittels
> differentiation bewiesen;)

Das ist natürlich ein tolles Argument. Aber: auch an hessischen Gymnasien wird doch wohl folgender Sachverhalt behandelt:

           Ist f eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion und gilt

           f'(x) >0 für jedes x [mm] \in [/mm] I, so ist f auf I streng monoton wachsend.

Bitteschön, wie erklärst Du Deinen Schülern warum das so ist ??

FRED



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