Ungleichung Lösungsmenge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Sa 19.11.2011 | | Autor: | DJ_Leo |
| Aufgabe | Wie heißt die Lösungsmenge der Ungleichung
x² + 4x + 3 < 0 ? |
Guten Abend,
ich sitze mal wieder vor meinem Heft und verstehe es einfach nicht, ich soll die Lösungsmenge der Ungleichung angeben:
x² + 4x + 3 < 0
Also ich Forme die Ungleichung um:
x² + 4x + 3 < 0 [mm] \gdw [/mm] (x + 3) (x + 1) < 0
So und jetzt beginnt das große Rätsel:
Ich schreibe :
(x + 3 < 0 [mm] \wedge [/mm] x + 1 > 0) [mm] \vee [/mm] (x + 3 > 0 [mm] \wedge [/mm] x + 1 < 0)
(x < -3 [mm] \wedge [/mm] x > -1) [mm] \vee [/mm] (x > -3 [mm] \wedge [/mm] < -1)
-3 < x < -1
Ich verstehe diesen Rechenweg überhaupt nicht, ich verstehen nicht wieso die Relationszeichen umgedreht werden, und wie ich das Ergebnis ausrechnen/lesen soll?
Ich währe sehr dankbar wenn mir das einer erklären könnte wie ich da auf das Ergebnis komme.
Vielen Dank im Voraus.
Mfg DJ
Und:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo DJLeo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
es ist nicht so schwierig, wie es aussieht. Ehrlich nicht.
> Wie heißt die Lösungsmenge der Ungleichung
> x² + 4x + 3 < 0 ?
> Guten Abend,
>
> ich sitze mal wieder vor meinem Heft und verstehe es
> einfach nicht,
Solche Hefte hatten wir früher auch.
Schade, dass die immer noch verkauft werden. 
> ich soll die Lösungsmenge der Ungleichung
> angeben:
>
> x² + 4x + 3 < 0
>
> Also ich Forme die Ungleichung um:
>
> x² + 4x + 3 < 0 [mm]\gdw[/mm] (x + 3) (x + 1) < 0
Gut so.
Bevor Du irgendetwas weiter rechnest, versuch mal, Dir den Funktionsgraphen vorzustellen.
Du hast eine Parabel. Vor dem [mm] x^2 [/mm] steht "nichts" (also genauer: der Faktor +1), und damit ein positiver Koeffizient. Die Parabel ist nach oben offen.
Sie hat zwei Nullstellen. "Links von der linken" verläuft der Graph also im Positiven ("nach oben") und "rechts von der rechten" auch. Dazwischen verläuft er also im Negativen, also unterhalb der x-Achse.
Nun steht da aber keine Gleichung, sondern eine Ungleichung. Mit dem Graphen weißt Du aber, wann sie erfüllt ist und wann nicht.
> So und jetzt beginnt das große Rätsel:
> Ich schreibe :
> (x + 3 < 0 [mm]\wedge[/mm] x + 1 > 0) [mm]\vee[/mm] (x + 3 > 0 [mm]\wedge[/mm] x + 1
> < 0)
Das Produkt (x+3)(x+1) ist genau dann <0, wenn einer der Faktoren negativ und der andere positiv ist. Nichts anderes ist hier aufgeschrieben.
> (x < -3 [mm]\wedge[/mm] x > -1) [mm]\vee[/mm] (x > -3 [mm]\wedge[/mm]x < -1)
Hier sind die Ungleichungen nur nach x aufgelöst worden.
> -3 < x < -1
Und das ist die Zusammenfassung. Die erste Klammer kann nie wahr sein, da müsste ja x gleichzeitig kleiner als -3 und größer als -1 sein. Das geht nicht.
In der zweiten Klammer steht, dass x größer als -3 und kleiner als -1 sein soll. Das kann man in der Ungleichungskette [mm]-3
> Ich verstehe diesen Rechenweg überhaupt nicht, ich
> verstehen nicht wieso die Relationszeichen umgedreht
> werden, und wie ich das Ergebnis ausrechnen/lesen soll?
>
> Ich währe sehr dankbar wenn mir das einer erklären
> könnte wie ich da auf das Ergebnis komme.
>
> Vielen Dank im Voraus.
Jetzt verständlicher?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Sa 19.11.2011 | | Autor: | DJ_Leo |
Hey,
ich glaub ich steh aufm Schlauch ich kapier nicht wie man auf das kommt:
-3 < x < -1
> Hier sind die Ungleichungen nur nach x aufgelöst worden.
>
> > -3 < x < -1
>
Ja aber wie? ich verstehe nicht wie ich von:
(x + 3) (x + 1) < 0
auf
-3 < x < -1
Kommen soll, also der ganze Rechenweg ist mir unklar. o.O.
Ich hoffe man versteht mein Problem.
Vielen Dank für die Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Sa 19.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast mit (x + 3) (x + 1) < 0 ein Produkt, das negativ werden soll. Und das geht nur, wenn beide Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben.
Wenn x+3<0 ist auch x+1<0
Wen x+1>0, ist auch x+3>0
Nur wenn x+1<0 und x+3>0 bekommst du unterschiedliche Vorzeichen bem Produkt.
Marius
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