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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | G [mm] (x_1 [/mm] , .... , [mm] x_n [/mm] ) = [mm] \wurzel[n]{x_1 *......* x_n } [/mm] bezeichne das geometrische Mittel und A ( [mm] x_1 [/mm] , ....., [mm] x_n [/mm] ) = ( [mm] x_1 [/mm] + .... + [mm] x_n [/mm] ) / n das arithmetische Mittel. Für alle n [mm] \in \IN [/mm] unf für alle [mm] x_k \in [/mm] (0, [mm] \infty [/mm] ) , k=1 , .... , n, gilt
A( [mm] x_1 [/mm] ,....., [mm] x_n) \ge [/mm] G( [mm] x_1 [/mm] , ...., [mm] x_n).
[/mm]
Zeigen Sie hier Folgendes: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] x_1 [/mm] , ....., [mm] x_n \in [/mm] (0, [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] gilt
[mm] \bruch{A( x_1 ,....., x_n }{A( 1- x_1 , ....., 1- x_n } \ge \bruch{G( x_1 , ....., x_n }{ G( 1- x_1 ,....., 1- x_n }
[/mm]
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion f(x)= ln (1-x) - ln(x) , x [mm] \in [/mm] (0,1/2), und die Ungleichung von Jensen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Wie gehe ich vor?
Danke schonmal :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 24.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> G [mm](x_1[/mm] , .... , [mm]x_n[/mm] ) = [mm]\wurzel[n]{x_1 *......* x_n }[/mm]
> bezeichne das geometrische Mittel und A ( [mm]x_1[/mm] , ....., [mm]x_n[/mm]
> ) = ( [mm]x_1[/mm] + .... + [mm]x_n[/mm] ) / n das arithmetische Mittel. Für
> alle n [mm]\in \IN[/mm] unf für alle [mm]x_k \in[/mm] (0, [mm]\infty[/mm] ) , k=1 ,
> .... , n, gilt
>
> A( [mm]x_1[/mm] ,....., [mm]x_n) \ge[/mm] G( [mm]x_1[/mm] , ...., [mm]x_n).[/mm]
>
> Zeigen Sie hier Folgendes: Für alle n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]x_1[/mm] ,
> ....., [mm]x_n \in[/mm] (0, [mm]\bruch{1}{2})[/mm] gilt
>
> [mm]\bruch{A( x_1 ,....., x_n }{A( 1- x_1 , ....., 1- x_n } \ge \bruch{G( x_1 , ....., x_n }{ G( 1- x_1 ,....., 1- x_n }[/mm]
>
> Hinweis: Betrachten Sie die Funktion f(x)= ln (1-x) - ln(x)
> , x [mm]\in[/mm] (0,1/2), und die Ungleichung von Jensen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> Wie gehe ich vor?
So wie es da steht: Nimm die Jensensche Ungleichung. Zunächst musst du zeigen, dass f konvex ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Wie mache ich das ? :S
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Muss ich jetzt eigentlich die 1. und die 2. Ableitung von f bilden ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mo 24.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist das einfachste um die Konv. zu zeigen. warum fängst du nicht an, das diff. geht schneller als schreiben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich habe f differenziert:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{(x-1)*x}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{1-2x}{(x-1)^2 * x^2 }
[/mm]
Was mache ich nun? Und sind die Ableitungen richtig? :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mo 24.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich habe f differenziert:
f(x)= ln (1-x) - ln(x)
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{(x-1)*x}[/mm]
richtig
> f''(x) = [mm]\bruch{1-2x}{(x-1)^2 * x^2 }[/mm]
Vorzeichen des Zählers falsch: richtig
f''(x) = [mm] $\bruch{2x-1}{(x-1)^2 * x^2 }$
[/mm]
> Was mache ich nun? Und sind die Ableitungen richtig? :S
wann ist eine fkt konvex? in dem Bereich, das kritisch ist?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Es heißt ja folgendermaßen:
f''(x) > 0 => konvex
f''(x) < 0 => konkav
0 = [mm] \bruch{2x-1}{(x-1)^2 * x^2 }
[/mm]
0 = [mm] \bruch{1}{(x-1)^2 } [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
0 = [mm] \bruch{2}{(x-1)^2 *x } [/mm] - [mm] \bruch{1}{(x-1)^2 * x^2 }
[/mm]
0 = [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] +2
-2 = [mm] \bruch{1}{x-1}
[/mm]
x = 1/2
Also f''(1/2) > 0 , es liegt eine Konvexität vor, oder ??
Was mache ich nun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ist das denn so richtig? Wenn ja, wie gehts weiter? Ich brauche dringend Hilfe :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Di 25.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sorry, leider war meine Korrektur falsch, dein f'' war richtig.
also f''=$ [mm] \bruch{1-2x}{(x-1)^2 \cdot{} x^2 } [/mm] $
aber wenn du das 0 setz, weisst du doch nicht, wo es >0 ist?
da der Nenner immer >0 muss nur 1-2x>0 sein und daraus x<1/2
also ist f(x) wirklich konvex und du kannst die Jensensche Ungl anwenden.
naheliegend deine Ungleichung zu logarithmieren!
und jetzt schreib mal irgendwas auf.
1. die Jensensche Ungl.
2. was willst du zeigen und dann tu halt mal was!
Gruss leduart
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