Ungleichung Beweis < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie: Ist [mm] p_{n}\in\Pi_{n} [/mm] das Interpolationspolinom zu den Daten [mm] (x_{i}, f(x_{i})), [/mm] i= 0,...,n mit äquidistanten Stützstellen [mm] x_{i}=a+ih [/mm] i=0,..,n h:= (b-a)/n so gelten die Abschätzungen
[mm] \parallel f-p_{n}\parallel_{\infty} \le \bruch{\parallel f^{n+1} \parallel_{\infty}}{4(n+1)} *h^{n+1}
[/mm]
[mm] \parallel f'-p'_{n}\parallel_{\infty} \le \parallel f^{n+1} \parallel_{\infty} *h^{n} [/mm] |
Also nach meinen Skript gilt erstmal die allgemeine Fehlerabschätzung
[mm] \parallel f-p_{n}\parallel_{\infty} \le \bruch{\parallel f^{n+1} \parallel}{(n+1)!}*\parallel w_{n+1} \parallel [/mm]
wobei [mm] w_{n+1} [/mm] das Knotenpolynom ist mit [mm] w_{n+1}(x)= \produkt_{i=0}^{n} [/mm] x- [mm] x_{i}
[/mm]
Das vereinfacht mir die ganze Problematik erstmal da ich ja nur noch [mm] w_{n+1}(x) [/mm] "schön" abschätzen muss um die Richtigkeit der ersten Ungleichung zu zeigen.
Das Vereinfachen bzw abschätzen davon fällt mir aber irgendwie schwer...
hier mein Ansatz
[mm] w_{n+1}(x)=\produkt_{i=1}^{n} x-x_{i}=(x-a)*(x-(a+h))*(x-(a+2h))*...*(x-(a+(n-1)h))*(x-b)
[/mm]
leider sehe ich noch keine weiter sinnvolle Abschätzung oder Umformung. Kann mir jemand helfen?
Grüße Seamus
edit: erste Fehlerabschätzung geändert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Do 29.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen sie: Ist [mm]p_{n} \in \Pi_{n}[/mm] das Interpolationspolinom
> zu den Daten [mm](x_{i}, f(x_{i})),[/mm] i= 0,...,n mit
> äquidistanten Stützstellen [mm]x_{i}=a+ih[/mm] i=0,..,n h:=
> (b-a)/n so gelten die Abschätzungen
>
> [mm]\parallel f-p_{n}\parallel_{infty} \le \bruch{\parallel f^{n+1} \parallel_{infty}}{4(n+1)} *h^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\parallel f'-p'_{n}\parallel_{infty} \le \parallel f^{n+1} \parallel_{infty} *h^{n}[/mm]
>
> Also nach meinen Skript gilt erstmal die allgemeine
> Fehlerabschätzung
>
> [mm]\parallel f-p_{n}\parallel_{infty} \le \bruch{\parallel f^{n+1} \parallel}{(n+1)!}*\parallel w_{n+1} \parallel[/mm]
>
> wobei [mm]w_{n+1}[/mm] das Knotenpolynom ist mit [mm]w_{n+1}(x)= \produkt_{i=0}^{n}[/mm]
> x- [mm]x_{i}[/mm]
>
> Das vereinfacht mir die ganze Problematik erstmal da ich ja
> nur noch [mm]w_{n+1}(x)[/mm] "schön" abschätzen muss um die
> Richtigkeit der ersten Ungleichung zu zeigen.
>
> Das Vereinfachen bzw abschätzen davon fällt mir aber
> irgendwie schwer...
>
> hier mein Ansatz
> [mm]w_{n+1}(x)= \produkt_{i=1}^{n} x-x_{i}[/mm] =
> (x-a)*(x-(a+h))*(x-(a+2h))*...*(x-(a+(n-1)h))*(x-b)
> leider sehe ich noch keine weiter sinnvolle Abschätzung
> oder Umformung. Kann mir jemand helfen?
Tipp: nimm zum Beispiel an, dass x zwischen den ersten beiden Stützstellen $a$ und $a+h$ liegt. Dann ist
[mm] |x-a| \le h [/mm], [mm] |x-(a+h)| \le h [/mm], [mm] |x-(a+2h)| \le 2h [/mm], [mm] |x-(a+3h)| \le 3h [/mm], usw.
Was kannst du daraus für das Knotenpolynom folgern?
Viele Grüße
Rainer
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Ok, das macht Sinn!
Dann könnte ich [mm] w_{n+1} \le h^{n+1}*n! [/mm] abschätzen wenn ich das richtig sehe.
Dann fehlt mir aber noch das [mm] \bruch{1}{4} [/mm] aus der zu beweisenden Ungleichung. Wo bekomme ich die denn her, es ist ja schon alles vereinfacht...
Grüße Seamus
und danke für den Lichtblick 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Sa 01.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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