Ungleichung + quadrieren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Kann man (und wenn ja unter welchen Umständen) Ungleichungen quadrieren?
Beispiele: [mm] \wurzel{5x-1} \le [/mm] x+1
oder: [mm] \wurzel{x-1}<-x+1
[/mm]
Danke & greetz
sonnenblumale
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 So 09.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Sonnenblume!
Es ist [mm] $x^2\leq y^2\gdw \vert x\vert ^2\leq \vert y\vert ^2\gdw \vert x\vert \leq\vert y\vert$. [/mm] Das heißt, dass du die Ungleichung [mm] $x\leq [/mm] y$ genau dann zu [mm] $x^2\leq y^2$ [/mm] quadrieren darfst, wenn auch [mm] $\vert x\vert \leq\vert y\vert$ [/mm] gilt. Aus [mm] $-3\leq [/mm] 5$ folgt also wegen [mm] $3\leq [/mm] 5$ auch [mm] $9\leq [/mm] 25$, aus [mm] $-5\leq [/mm] 3$ wegen [mm] $5\not\leq [/mm] 3$ keinesfalls [mm] $25\leq [/mm] 9$.
Klar?
Liebe Grüße,
Hanno
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Wenn $ [mm] x^2\leq y^2\gdw \vert x\vert ^2\leq \vert y\vert ^2\gdw \vert x\vert \leq\vert y\vert [/mm] $ dann stellt sich für mich folgendes Problem:
[mm] |x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm]
Damit ergeben sich für |x| [mm] \leq [/mm] |y| 4 Varianten, wenn ich die obige Beschreibung des Betrags anwende.
Erkärend muss ich noch hinzufügen, dass ich mit dem Betragsrechnen noch nicht ganz auf du-und-du bin.
Danke & lg
sonnenblumale
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich mache es dir mal am ersten Beispiel vor:
Wir hatten zu lösen:
(*) [mm] $\sqrt{5x-1} \le [/mm] x+1$.
Erst einmal bestimmen wir den Definitionsbereich der Ungleichung:
[mm] $D=\left[ \frac{1}{5},+\infty \right) [/mm] = [mm] \left\{x \in \IR\, : \, x \ge \frac{1}{5} \right\}$.
[/mm]
In diesem Definitionsbereich sind beide Seiten von (*) nicht negativ.
(*) ist somit, wie man durch Quadrieren feststellt (beachte: durch die Einschränkung auf den Definitionsbereich sind hier beide Seiten von(*) nicht negativ, d.h. das Quadrieren ist hier eine Äquivalenzrelation; im Allgemeinen aber nicht!), äquivalent zu
$5x-1 [mm] \le x^2+2x+1$,
[/mm]
also zu
$(x-1) [mm] \cdot [/mm] (x-2) = [mm] x^2 [/mm] -3x+2 [mm] \ge [/mm] 0$,
was innerhalb des Definitionsbereiches für $x [mm] \ge [/mm] 2$ gelöst wird.
Wir haben also:
[mm] $\IL=[2,+\infty) [/mm] = [mm] \{x \in \IR\, : \m x \ge 2\}$.
[/mm]
Schau dir zur Übung doch ![[]](/images/popup.gif) das hier mal an:
Hunderte von solchen Aufgaben mit Musterlösungen! (Diese findest du hinten...) ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Liebe Grüße
Stefan
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Dankeschön für die Hilfe!
Ich freu mich schon, wenn ich selber dann auch mal Fragen beantworten kann :)
lG
sonnenblumale
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Hab noch eine weitere Frage zur Lösungsmenge von (Betrags)ungleichungen:
[mm] \wurzel{x-1}<|x-4|-3
[/mm]
1. Fall: x-4>0:
Nach einigem Rechnen bekomme ich folgendes heraus (das soll jetzt einfach als richtig angenommen werden :):
[mm] x^{2}-15x+50 [/mm] >0 <=> (x-10)(x-5)>0
weitere Fallunterscheidung:
beide Faktoren positiv:
x-10 > 0 -> x >10
x-5 > 0 -> x>5
beide Faktoren negativ:
x-10<0 -> x<10
x-5<0 -> x<5
Wie Interpretiere ich dieses Ergebnis bzw. was gilt als Lösungsmenge?
(Fall 2 für x-4<0 durch Widerspruch ausgeschlossen)
Danke & greetz
sonnenblumale
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Do 13.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Sonnenblumale,
> Hab noch eine weitere Frage zur Lösungsmenge von
> (Betrags)ungleichungen:
>
> [mm]\wurzel{x-1}<|x-4|-3[/mm]
D = {x|x > 1}
>
> 1. Fall: x-4>0:
> Nach einigem Rechnen bekomme ich folgendes heraus (das
> soll jetzt einfach als richtig angenommen werden :):
> [mm]x^{2}-15x+50[/mm] >0 <=> (x-10)(x-5)>0
>
Ich interpretiere die folgenden Fälle zunächst einmal unabhängig von der obigen Ungleichung.
> weitere Fallunterscheidung:
> beide Faktoren positiv:
> x-10 > 0 -> x >10
> x-5 > 0 -> x>5
Es muss also gelten:
[mm] x > 10 \wedge x > 5 [/mm]
[mm] \gdw x > 10 [/mm] denn jede Zahl größer 10 ist automatisch auch größer als 5.
>
> beide Faktoren negativ:
> x-10<0 -> x<10
> x-5<0 -> x<5
[mm] x < 10 \wedge x < 5 [/mm]
[mm] \gdw x < 5 [/mm]
>
>
> Wie Interpretiere ich dieses Ergebnis bzw. was gilt als
> Lösungsmenge?
Bei der Lösungsmenge der obigen Ungleichung musst du aber noch berücksichtigen, dass die rechte Seite positiv sein muss, denn sonst kannst sie nicht größer als eine Wurzel sein.
> (Fall 2 für x-4<0 durch Widerspruch ausgeschlossen)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Damit ist die Lösungsmenge
L = {x | x> 10}
>
Gruß
Sigrid
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