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Hallo,
ich bereiete mich gerad auf meine Prüfungen vor und möchte zur Vorbereitung die folgende Aufgabe lösen. Zu zeigen ist die Ungleichung:
[mm] (\frac{1}{r}-1)(\frac{1}{s}-1)(\frac{1}{t}-1)\ge [/mm] 8
unter der Bedingung: r+s+t=1.
Ich habe versucht die linke Seite auszumultiplizieren und habe die Bedingung angewandt. Dann komme ich auf die Form:
[mm] \frac{rs+st+rt}{rst}\ge [/mm] 9
Wie könnte ich nun weiter vorgehen? Ist es möglich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu verwenden?
mfg piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Do 19.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich bereiete mich gerad auf meine Prüfungen vor und
> möchte zur Vorbereitung die folgende Aufgabe lösen. Zu
> zeigen ist die Ungleichung:
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> [mm](\frac{1}{r}-1)(\frac{1}{s}-1)(\frac{1}{t}-1)\ge[/mm] 8
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> unter der Bedingung: r+s+t=1.
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> Ich habe versucht die linke Seite auszumultiplizieren und
> habe die Bedingung angewandt. Dann komme ich auf die Form:
>
> [mm]\frac{rs+st+rt}{rst}\ge[/mm] 9
wie kommst Du darauf? Zumal Du hier auch aufpassen musst, ob Du wirklich äquivalent umformst. Denn Multiplikation etwa mit [mm] $t\,$ [/mm] erhält nur das Ungleichheitszeichen, wenn $t > [mm] 0\,$ [/mm] etc..
> Wie könnte ich nun weiter vorgehen? Ist es möglich die
> Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu verwenden?
Ich weiß nicht, warum Du so kompliziert denkst und nicht das erste machst, was naheliegend wäre:
Du kannst doch die Ungleichung auf eine mit zwei Variablen reduzieren. Wegen [mm] $r+s+t=1\,$ [/mm] gilt etwa [mm] $t=1-r-s\,.$
[/mm]
Setze das mal in die behauptete Ungleichung ein! Danach ist nur noch eine Ungleichung "für alle [mm] $r\,$ [/mm] und alle [mm] $s\,$" [/mm] zu zeigen.
Gruß,
Marcel
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Also zu den Umformungen hab ich nur ausmultipliziert und dann den Hauptnenner gebildet, von daher dürfte das kein Problem sein:
[mm] (\frac{1}{r}-1)(\frac{1}{s}-1)(\frac{1}{t}-1)=\frac{1}{rst}-\frac{1}{rt}-\frac{1}{st}+\frac{1}{t}-\frac{1}{rs}+\frac{1}{r}+\frac{1}{s}-1
[/mm]
[mm] =\frac{1-\overbrace{(r+s+t)}^{=1}+rs+st+rt-rst}{rst}
[/mm]
[mm] =\frac{rs+st+rt}{rst}-1\ge [/mm] 8
jetzt mit Eins addieren
[mm] \frac{rs+st+rt}{rst}\ge [/mm] 9
So müsste der Weg eigentlich stimmen oder?
Wenn ich nun einsetze: r=1-s-t, dann ergibt sich:
[mm] \frac{s+t-s^2-t^2-st}{st-s^2t-st^2}\ge [/mm] 9
Hier komme ich leider nicht weiter.
mfg piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Do 19.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also zu den Umformungen hab ich nur ausmultipliziert und
> dann den Hauptnenner gebildet, von daher dürfte das kein
> Problem sein:
>
> [mm](\frac{1}{r}-1)(\frac{1}{s}-1)(\frac{1}{t}-1)=\frac{1}{rst}-\frac{1}{rt}-\frac{1}{st}+\frac{1}{t}-\frac{1}{rs}+\frac{1}{r}+\frac{1}{s}-1[/mm]
> [mm]=\frac{1-\overbrace{(r+s+t)}^{=1}+rs+st+rt-rst}{rst}[/mm]
> [mm]=\frac{rs+st+rt}{rst}-1\ge[/mm] 8
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> jetzt mit Eins addieren
> [mm]\frac{rs+st+rt}{rst}\ge[/mm] 9
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> So müsste der Weg eigentlich stimmen oder?
ja. Ich hatte das auf die Schnelle eben nicht gesehen. Aber Du hast vollkommen recht!
> Wenn ich nun einsetze: r=1-s-t, dann ergibt sich:
>
> [mm]\frac{s+t-s^2-t^2-st}{st-s^2t-st^2}\ge[/mm] 9
Auf die Schnelle fällt mir gerade auch nur eines ein:
Falls ihr schon Funktionen [mm] $\IR^2 \to \IR$ [/mm] behandelt habt, dann setze
[mm] $$f(s,t)=\frac{s+t-s^2-t^2-st}{st-s^2t-st^2}$$
[/mm]
und untersuche diese Funktion auf Extremstellen.
Gruß,
Marcel
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