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| Aufgabe | Zeigen Sie für a,b [mm] \in \IR [/mm] die Ungleichung |a| + |b| [mm] \le [/mm] |a+b| + |a-b|.
Wann gilt Gleichheit? |
Hallo!
Ich hatte mir gedacht, dass man etwas mit den beiden Dreiecksungleichungen anfangen könnte, also:
|a+b| [mm] \le [/mm] |a| + |b| und
| |a| - |b| | [mm] \le [/mm] |a-b|
aber:
die beiden Dreiecksungleichungen würden ja gegengesetzt wirken/sein!
Ein anderer Ansatz wäre eine Fallunterscheidung, aber da ist dann die Frage, wie man das macht, also ob
Fall 1: a,b positiv
Fall 2: a,b negativ
Fall 3: a pos, b neg
Fall 4: a neg, b pos
oder wie?
und dann stehe ich aber immer noch vor dem problem wie ich das für die verschiedenen Fälle zeige!
Ich bin gerade etwas hilflos... kann mir vielleicht jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben? Das wäre toll!
Danke schon mal 
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achja, hab gerade den 2. Teil der Aufgabe vergessen.
Ich habe mir überlegt dass das für a=b gilt.
Denn dann wäre |a - b| = 0 und der Rest ist ja praktisch die Dreiecksungleichung, nur verkehrtrum...
also muss Gleichheit gelten.
Aber stimmt das? und wie würde ich das sauber aufschreiben?
Grüßle und DANKE schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Do 03.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
da |a-b|=|b-a| ist, man also die Buchstaben austauschen kann kann man annehmen [mm] a\le [/mm] b
dann musst du nur die fälle [mm] 0\le a\le [/mm] b ; [mm] a\leb<0 [/mm] und [mm] a\le0\leb [/mm] betrachten
mit den 3 fallunterscheidungen hast du alles. dabei sieht man auch wann = kommt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ich danke dir
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> Zeigen Sie für a,b [mm]\in \IR[/mm] die Ungleichung |a| + |b| [mm]\le[/mm]
> |a+b| + |a-b|.
> Wann gilt Gleichheit?
> Hallo!
> Ich hatte mir gedacht, dass man etwas mit den beiden
> Dreiecksungleichungen anfangen könnte, also:
> |a+b| [mm]\le[/mm] |a| + |b| und
> | |a| - |b| | [mm]\le[/mm] |a-b|
>
> aber:
> die beiden Dreiecksungleichungen würden ja gegengesetzt
> wirken/sein!
>
> Ein anderer Ansatz wäre eine Fallunterscheidung, aber da
> ist dann die Frage, wie man das macht, also ob
> Fall 1: a,b positiv
> Fall 2: a,b negativ
> Fall 3: a pos, b neg
> Fall 4: a neg, b pos
> oder wie?
>
> und dann stehe ich aber immer noch vor dem problem wie ich
> das für die verschiedenen Fälle zeige!
>
> Ich bin gerade etwas hilflos... kann mir vielleicht jemand
> einen Schubs in die richtige Richtung geben? Das wäre
> toll!
> Danke schon mal
Mit der Dreiecksungleichung könntest du zeigen [mm] |2a|\le |a+b|+|a-b|\Leftrightarrow |a|\le(|a+b|+|a-b|)/2 [/mm]
und analog [mm] |b|\le(|a+b|+|a-b|)/2.
[/mm]
Wenn du dann überlegtst, wann die Dreiecksungleichung Gleichheit liefert, kannst du auch die zweite Frage beantworten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke sehr
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