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Ungleichung: reelle Zahlen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Mo 12.07.2010
Autor: fabe_sen

Aufgabe
Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die gilt:

[mm] \bruch{4x-4}{2x-1} [/mm] < 3.  

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Ich prüfe zuerst wann der Nenner =0 wird, da x nie gleich diesem Wert sein darf. Als Ergebnis bekomme ich  [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]

Ist meine Lösungsmenge dann [mm] \IR \backslash \{\bruch{1}{2}\} [/mm] oder muss ich noch eine Fallunterscheidung anstellen.

        
Bezug
Ungleichung: doch mit Fallunterscheidung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Mo 12.07.2010
Autor: Roadrunner

Hallo fabe_sen!


Deine Definitionsbereich ist richtig. Jedoch sagt dieser Definitionsbereich der Ungleichung nichts über die gesuchte Lösungsmenge aus.

Du ahnst es schon: Du musst hier eine Fallunterscheidung mit $2x-1 \ > \ 0$ bzw. $2x-1 \ < \ 0$ machen.


Gruß vom
Roadrunner


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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Mo 12.07.2010
Autor: fabe_sen

Vielen Dank Roadrunner.

Nach der Fallunterscheidung bekomme ich dann:

x> [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] und  

x< [mm] \bruch{7}{10}. [/mm]

Ist meine Lösungsmenge dann:

[mm] ]-\bruch{1}{2},\bruch{7}{10}[ [/mm] bzw.

] [mm] -\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2} [/mm] [   [mm] \cap [/mm]   ] [mm] \bruch{1}{2}, \bruch{7}{10} [/mm] [ ?

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Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Mo 12.07.2010
Autor: meili

Hallo fabe_sen,

> Vielen Dank Roadrunner.
>  
> Nach der Fallunterscheidung bekomme ich dann:
>  
> x> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und  

ja, für  [mm]2x -1 > 0[/mm] oder umgeformt  [mm] x > \bruch{1}{2}[/mm]
Für diesen Fall: $ x > [mm] -\bruch{1}{2} \wedge [/mm]  x > [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm]

>
> x< [mm]\bruch{7}{10}.[/mm]

nein

>  
> Ist meine Lösungsmenge dann:
>  
> [mm]]-\bruch{1}{2},\bruch{7}{10}[[/mm] bzw.
>  
> ] [mm]-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2}[/mm] [   [mm]\cap[/mm]   ] [mm]\bruch{1}{2}, \bruch{7}{10}[/mm]
> [ ?

Für den Fall [mm]2x -1 < 0[/mm] noch Ungleichung auflösen.
Wenn Lösung nicht nicht leer mit 1. Fall vereinen.

Gruß meili


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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Mo 12.07.2010
Autor: fabe_sen

Danke für die Antwort.
Aber so leid es mir tut, ich versteh es immer noch nicht wirklich:
Ich schreibe mal das auf, was ich gerechnet habe und hoffe mir kann jemand meine(n) Fehler sagen:

2x-1 = 0
[mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] --> Def.bereich: [mm] \IR \backslash \bruch{1}{2} [/mm]

1.Fall:
2x-1 > 3

[mm] \bruch{4x-4}{2x-1} [/mm] < 3  --> x >   [mm] -\bruch{1}{2} [/mm]

2.Fall:
2x-1 < 0

[mm] \bruch{4x-4}{-2x+1} [/mm] < 3  --> x <   [mm] \bruch{7}{10} [/mm]

L =  ] [mm] -\bruch{1}{2}, \bruch{7}{10} [/mm] [  [mm] \backslash \bruch{1}{2}. [/mm]


Oder betrachte ich bei der Fall unterscheidung nur den Zähler und nicht die gesamte Ungleichung. Ich steh wohl ein bisschen auf dem Schlauch. :s

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Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mo 12.07.2010
Autor: p_a_u_l

Die Fallunterscheidung ist: $2x-1>0$ und $2x-1<0$, nicht > oder < 3. Denn wenn du mit einer Zahl kleiner 0 multiplizierst oder dividierst, dann wird das > zu einem < und umgekehrt:

1. Fall:
$2x-1 > 0$

[mm] $\Rightarrow [/mm] x > [mm] \frac{1}{2}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow [/mm] 4x-4<3(2x-1)$

2. Fall
$2x-1 < 0$

[mm] $\Rightarrow [/mm] x < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow [/mm] 4x-4>3(2x-1)$

Dann brauchst du nur noch in beiden Fällen nach x auflösen und bekommst die entsprechenden Grenzen für x. Beim ersten Fall musst du ein wenig aufpassen.

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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Mo 12.07.2010
Autor: fabe_sen

Vielen Dank - das war für mich verständlicher;)
Könntest du mir als Kontrolle noch sagen ob ich dann mit meiner Lösungsmenge richtig liege und warum ich beim ersten Fall aufpassen sollte (ich hoffe ich hab aufgepasst):

L = ] [mm] \bruch{1}{2}, \infty [/mm] [  [mm] \cup [/mm]  ] [mm] -\infty, -\bruch{1}{2} [/mm] [.



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Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Mo 12.07.2010
Autor: p_a_u_l

Ja, deine Lösung ist richtig.

Beim ersten Fall kommt beim Umstellen der Gleichung raus: [mm] $x>-\frac{1}{2}$. [/mm] Doch da du als Bedingung ja $2x-1 > 0$ vorausgesetzt hast muss $x$ natürlich [mm] $>\frac{1}{2}$ [/mm] sein.

Aber das hast du ja offenbar erkannt.

Gruß
Paul

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Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Mo 12.07.2010
Autor: fabe_sen

Danke dir, Paul.

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