Ungleichung < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mo 27.10.2008 | | Autor: | sask1a |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle natürliche Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] die Ungleichung
[mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+...+\bruch{1}{2^n-2}+\bruch{1}{2^n-1}+\bruch{1}{2^n}>n\bruch{1}{2}
[/mm]
erfüllt ist. |
Ich verstehe nicht wie man auf der linken Seite unter dem Bruchstrich von 1,2,3,4,... zu [mm] ...,2^n-2, 2^n-1,2^n [/mm] kommt.
Vollständige Induktion ist schon einigermaßen klar, aber hier weiß ich nicht mal, wie ich z.B. n=1 einsetze. Was ist das für eine Zahlenfolge?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Saskia!
Für $n \ = \ 1$ lautet die Ungleichung:
[mm] $$1+\bruch{1}{2^{\red{1}}} [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{1}{2} [/mm] \ > \ [mm] \red{1}*\bruch{1}{2}$$
[/mm]
Und für $n \ = \ 4$ :
[mm] $$1+...+\bruch{1}{2^{\red{4}}} [/mm] \ = \ [mm] 1+...+\bruch{1}{16} [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+...+\bruch{1}{15}+\bruch{1}{16} [/mm] \ > \ [mm] \red{4}*\bruch{1}{2}$$
[/mm]
Nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
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