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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 So 24.02.2008 | | Autor: | tuxor |
| Aufgabe | Zeige für je zwei reelle Zahlen a,b folgende Ungleichung
[mm] (a+b)^4 \le 8(a^4+b^4) [/mm] |
Ich habe keine Ahnung, wie das funktionieren soll. Wird wohl nur eine Sache der Umformung sein, aber mir bleibt es eben schleierhaft, wie das funktionieren soll...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 So 24.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Form mal die erste Seite um:
[mm] (a+b)^{4}
[/mm]
[mm] =a^{4}+4a^{3}b+6a²b²+4ab^{3}+b^{4}
[/mm]
Und jetzt mach mal folgende Fallunterscheidung:
1. a=b und 2 a [mm] \ne [/mm] b, und da das Problem "symmetrisch" ist, kannst du daraus a>b machen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 So 24.02.2008 | | Autor: | tuxor |
Ich bin mal so frei und veröffentliche meine Lösung, die ich mit dem gegebenen Tipp finden konnte.
Bei weiterer Umformung kommt man auf folgendes:
0 [mm] \le 3(a+b)^2(a-b)^2 [/mm] + [mm] 4(a^3-b^3)(a-b)
[/mm]
und wegen a>b ist das eine wahre Aussage. Für a=b ist die Lösung natürlich trivial ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 So 24.02.2008 | | Autor: | at2 |
oder man kann die Ungleichung auch (etwas eleganter)mit dem Ungleichungsatz von Cauchy-Bunjakowski-Schwarz lösen.Allgemein gilt:
[mm] (a^2+b^2)(c^2 [/mm] + [mm] d^2) \ge (ab+cd)^2
[/mm]
das ganze 2mal anwenden:
1.tes mal für a= [mm] a^2 [/mm] , [mm] b=b^2 [/mm] , c=d= 2
2.tes mal für a=a , b=b , c=d=1
Gleichheitszeichen gilt wenn a:d=c:d => a=d
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