Ungleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Mo 17.01.2005 | | Autor: | DrOetker |
Hallo!
Habe folgende Ungleichung:
[mm] \bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2} \ge [/mm] x
Wie ist hierfür der Lösungsweg?
Müsste doch eigentlich die Definitionsmenge bestimmen und unter Beachtung der Hauptnenners vier Fälle ausrechnen. Welche Bedeutung haben jetzt aber die Betragsschriche???
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrOetker!
> [mm]\left| \bruch {x^2-4} {x+2} \right| \ge x[/mm]
>
> Wie ist hierfür der Lösungsweg?
> Müsste doch eigentlich die Definitionsmenge bestimmen ...
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Tipp:
Versuch' doch mal den Zähler zu faktorisieren und dann evtl. den Bruch zu vereinfachen.
Mit den Betragsstrichen mußt Du dann eine Fallunterscheidung machen, da ja gilt: [mm] |z|\;=\;\begin{cases} z, & \mbox{für } z \ge 0 \mbox{} \\ -z, & \mbox{für } z < 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
Grüße
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Fr 21.01.2005 | | Autor: | DrOetker |
Hallo Loddar!
Endlich komme ich dazu mir die Aufgabe noch einmal anzugucken.
Leider hast du die Aufgabe nicht ganz richtig gelesen. Sie lautete
[mm] \bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2} \ge [/mm] x
[mm] Def=Q\{-2}
[/mm]
Nun müsste ich doch vier Fälle lösen
1. x>-2
1.1 ...
1.2 ...
2. x<-2
2.1 ...
2.2 ...
Nun frage ich mich wie die Bedingungen für diese Unterfälle lauten, also für die Betragsteile. Das mit dem Faktorisieren habe ich verstanden, aber mit diesen zusammengesetzten Unterlösungen komme ich irgendwie immer durcheinander.
Kannst du mir diesbezüglich nocheinmal helfen, damit ich zu einer rechnerischen Lösung komme?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo DrOetker,
> Leider hast du die Aufgabe nicht ganz richtig gelesen. Sie
> lautete
>
> [mm]\bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2} \ge[/mm] x
>
> [mm]Def=Q\{-2}
[/mm]
Du bist ja ein Scherzkeks, du hast die Frage doch selbst nachträglich verändert.
> Nun müsste ich doch vier Fälle lösen
> 1. x>-2
> 1.1 ...
> 1.2 ...
>
> 2. x<-2
> 2.1 ...
> 2.2 ...
>
> Nun frage ich mich wie die Bedingungen für diese Unterfälle
> lauten, also für die Betragsteile. Das mit dem
> Faktorisieren habe ich verstanden, aber mit diesen
> zusammengesetzten Unterlösungen komme ich irgendwie immer
> durcheinander.
> Kannst du mir diesbezüglich nocheinmal helfen, damit ich
> zu einer rechnerischen Lösung komme?
Streng formal könntest du so beginnen:
[mm] $\bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2} \ge [/mm] x$
[mm] $\gdw$ $\bruch {\left| (x-2)(x+2)|}{x+2} \ge [/mm] x$
[mm] $\gdw$ $(\star)$
[/mm]
Nun überlege ich mir die Fallunterscheidungen anhand des Betrages:
Fall 1: [mm] $(x-2)(x+2)\ge0$ $\gdw$ ($x-2\le0$ [/mm] und [mm] $x+2\le0$) [/mm] oder [mm] ($x-2\ge0$ [/mm] und [mm] $x+2\ge0$) $\gdw$ ($x\le2$ [/mm] und [mm] $x\le-2$) [/mm] oder [mm] ($x\ge2$ [/mm] und [mm] $x\ge-2$) $\gdw$ $x\le-2$ [/mm] oder [mm] $x\ge2$
[/mm]
[mm] $(\star)$ $\gdw$ $\bruch {x^2-4}{x+2} \ge [/mm] x$
[mm] $\gdw$ [/mm] $x-2 [mm] \ge [/mm] x$
[mm] $\gdw$ [/mm] ...
Fall 2: $(x-2)(x+2)<0$ [mm] $\gdw$ [/mm] ($x-2<0$ und $x+2>0$) oder ($x-2>0$ und $x+2<0$) [mm] $\gdw$ [/mm] ...
[mm] $(\star)$ $\gdw$ $-\bruch {x^2-4}{x+2} \ge [/mm] x$
[mm] $\gdw$ [/mm] ...
Der Rest dürfte dann klar sein.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Mi 26.01.2005 | | Autor: | DrOetker |
Morgen Marc!
Lange hat es geadauert, aber endlich macht sich der Aha-Effekt in meinem Gesicht breit.
Son Dreck! Ist ja im Prinzip echt einfach.
Danke für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 17.01.2005 | | Autor: | dominik |
Diese Ungleichung beinhaltet einige Fallunterscheidungen
- wegen den Betragsbalken und
- wegen des Nenners x+2, womit man zwar erweitern kann, aber je nach Vorzeichen die Relation von [mm] \ge [/mm] zu [mm] \le [/mm] geändert werden muss.
Deshalb scheint mir eine grafische Lösung zweckmässig.
Idee:
1. Fall:
[mm]\bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2} \ge x \Rightarrow \left| x^2-4 \right|\ge x*(x+2)[/mm] wenn [mm]x+2>0 \gdw x>-2[/mm]
(Der Fall [mm]x=-2[/mm] kommt wegen des Nenners [mm]x+2[/mm] nicht in Frage)
2. Fall:
[mm]\bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2} \le x \Rightarrow \left| x^2-4 \right|\le x*(x+2)[/mm] wenn [mm]x+2<0 \gdw x<-2[/mm]
(Division durch eine negative Zahl: Relation wechselt)
Für beide Fälle bilden wir zwei Funktionen, nämlich:
[mm]f(x)= \left| x^2-4 \right|[/mm]
[mm]g(x)=x*(x+2)[/mm]
Nun zeichnen wir beide Grafen und untersuchen, für welche x-Werte im 1. Fall [mm]f(x) \ge g(x)[/mm] und im 2. Fall [mm]f(x) \le g(x)[/mm]. f und g schneiden sich in (-2/0) und (1/3).
[mm]f(x)= \left| x^2-4 \right|[/mm] entsteht aus [mm]f(x)= x^2-4[/mm] durch Spiegelung des unteren Teils der Parabel (zwischen -2 und +2) auf die positive Seite der x-Achse. f hat damit eine W-Form mit den Nullstellen bei -2 und +2 und dem Scheitel bei (0/4).
[mm]g(x)=x*(x+2)=x^2+2x[/mm] ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen bei -2 und 0; ihr Scheitel hat die Koordinaten (-1/-1).
f und g schneiden sich in (-2/0) und (1/3).
1. Fall: [mm]f(x) \ge g(x)[/mm] für [mm]x>-2[/mm]: Lösung: [mm]-2
2. Fall: [mm]f(x) \le g(x)[/mm] für [mm]x<-2[/mm]: Lösung: [mm]L=\emptyset[/mm], da in diesem Bereich g unterhalb von f verläuft.
Gesamtlösung: [mm]L: -2
Probe:
[mm]x=-1 \Rightarrow \bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2} \ge x \gdw\bruch {\left| 1-4 \right|}{-1+2} \ge -1 \gdw \bruch {3}{1} \ge -1[/mm] ok
[mm]x=0 \Rightarrow \bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2} \ge x \gdw\bruch {\left| 0-4 \right|}{0+2} \ge 0 \gdw \bruch {4}{2} \ge 0[/mm] ok
[mm]x=1 \Rightarrow \bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2} \ge x \gdw\bruch {\left| 1-4 \right|}{1+2} \ge 1 \gdw \bruch {3}{3} \ge 1[/mm] ok
Viele Grüsse
dominik
|
|
|
|
