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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Sa 28.04.2007 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi [/mm] eine reellwertige Funktion auf [mm] \IR, [/mm] so dass für jede reellwertige beschränkte messbare Funktion f gilt
[mm] \phi(\integral_{0}^{1}{f dx}) \le \integral_{0}^{1}{\phi(f(x)) dx}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] konvex ist. |
Hallo!
Leider fehlen mit hierzu die Ansätze. Wie kann ich an das Problem herangehen?
Vielen Dank für eure Vorschläge!
papillon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo papillon!
> Sei [mm]\phi[/mm] eine reellwertige Funktion auf [mm]\IR,[/mm] so dass für
> jede reellwertige beschränkte messbare Funktion f gilt
>
> [mm]\phi(\integral_{0}^{1}{f dx}) \le \integral_{0}^{1}{\phi(f(x)) dx}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\phi[/mm] konvex ist.
> Hallo!
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> Leider fehlen mit hierzu die Ansätze. Wie kann ich an das
> Problem herangehen?
Per Kontraposition: Wenn [mm] $\phi$ [/mm] nicht konvex ist, dann gibt es $a, b [mm] \in [/mm] [0, 1]$ mit $a < b$ und ein [mm] $\lambda \in [/mm] (0, 1)$ mit [mm] $\phi(a [/mm] + [mm] \lambda [/mm] (b - a)) > [mm] \phi(a) [/mm] + [mm] \lambda (\phi(b) [/mm] - [mm] \phi(a))$.
[/mm]
Jetzt musst du eine passende messbare beschraenkte Funktion $f : [0, 1] [mm] \to \IR$ [/mm] konstruieren, dass die Integral-Ungleichung nicht gilt.
Hinweis: Du kannst $f$ stueckweise konstant waehlen, so dass [mm] $\int_0^1 [/mm] f(x) dx = a + [mm] \lambda [/mm] (b - a)$ und [mm] $\int_0^1 \phi(f(x)) [/mm] dx = f(a) + [mm] \lambda [/mm] (f(b) - f(a))$ ist. Kannst ja mal versuchen, eine solche Funktion $f$ zu basteln :)
LG Felix
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