Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Do 19.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Beweisen sie mit vollständiger Induktion die Ungleichung [mm] n!\le (\bruch{n}{2})^n [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 6. |
IA: n=6
[mm] 6!\le (\bruch{6}{2})^6
[/mm]
[mm] 170\le [/mm] 179 ist korrekt
IS: n=> n+1
(n+1)! = n!*(n+1) [mm] \le (\bruch{n}{2})^n*(n+1) [/mm] = [mm] \bruch{n^n}{2^n}*(n+1) [/mm] = [mm] \bruch{n^n^+^1+n^n}{2^n} [/mm] soweit so gut und jetzt??? ich könnte noch sagen [mm] <\bruch{n^n^+^1+n^n}{2^n^+^1} [/mm] und [mm] <\bruch{n^n^+^1}{2^n^+^1} [/mm] aber das bringt mich iwie auch nicht weiter ..letztlich will ich jah [mm] (\bruch{n+1}{2})^n^+^1
[/mm]
und einfach sagen [mm] \bruch{n^n^+^1+n^n}{2^n^+^1} [/mm] < [mm] {(n+1)^n^+^1}{2^n^+^1} [/mm] geht jah nicht einfach oder?
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Hallo Zerwas,
du kannst die Bernoullische Ungleichung nutzen: [mm] $(1+x)^n>1+nx$ [/mm] für [mm] $x>-1,x\ne [/mm] 0$
[mm] $(n+1)!=n!\cdot{}(n+1)\underbrace{<}_{IndVor}\left(\frac{n}{2}\right)^n\cdot{}(n+1)=\left(\frac{n}{2}\right)^n\cdot{}\underbrace{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n}_{=1}\cdot{}(n+1)$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}(n+1)=\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\cdot{}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n\cdot{}(n+1)$ [/mm] n ausgeklammert und gekürzt
[mm] $\underbrace{<}_{Bernoulli}\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\cdot{}\left(\frac{1}{1+n\cdot{}\frac{1}{n}}\right)(n+1)=\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}(n+1)=\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
OHA ... danke .... jezz muss ich nur noch ne Mathepille nehmen damit ich das dann beim nächsten mal auch selbst erkenne ;)
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