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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:09 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Cutie |
| Aufgabe | | Bestimme jeweils alle x e R, die die angegebenen Ungleichungen erfüllen. |
Kann mir jemand anhand dieses beispiles ungleichungen erklären.
a) 1/x-3 <= 2
b) -x/5+x > 1/3-x
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Hi, Cutie,
> Bestimme jeweils alle x e R, die die angegebenen
> Ungleichungen erfüllen.
> Kann mir jemand anhand dieses beispiles ungleichungen
> erklären.
>
> a) 1/x-3 <= 2
> b) -x/5+x > 1/3-x
(1) Lineare Ungleichungen sind recht einfach zu lösen, weil man praktisch genauso vorgehen kann wie bei lin. Gleichungen.
Einziges "Problem": Multiplizierst Du mit einer negativen Zahl oder dividierst Du durch eine negative Zahl, dann dreht sich das Ungleichungszeichen um.
Dies ist leicht nachvollziehbar, wenn Du Dir folgendes Zahlenbeispiel anschaust: -1 < 3 | *(-1) ergibt: +1 [mm] \red{>} [/mm] -3.
(2) Bei Bruch-Ungleichungen (und solche liegen bei Dir vor) musst Du oft mit dem Nenner multiplizieren. Wenn dieser aber von der Variablen abhängt, musst Du eine Fallunterscheidung machen, je nachdem ob der Nenner positiv oder negativ ist (vgl. "Problem" unter (1)).
Mein Problem ist allerdings, dass Deine Aufgaben so wie Du sie aufgeschrieben hast, mehrere Möglichkeiten offen lassen.
Z.B. Aufgabe a) 1/x-3 <= 2
Das könnte bedeuten: [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - 3 [mm] \le [/mm] 2
aber auch: [mm] \bruch{1}{x-3} \le [/mm] 2.
Sollte Letzteres gemeint sein, müsstest Du in Zukunft
- entweder lernen, wie man im Matheraum Brüche schreibt (siehe unten bei "Eingabehilfen" oder schau Dir mal den Quelltext zu meinem Beitrag an!) oder
- so schreiben: 1/(x-3) [mm] \le [/mm] 2
Nun - ich nehm' mal an, die Ungleichung lautet:
[mm] \bruch{1}{x-3} \le [/mm] 2
Zunächst die Definitionsmenge: D = [mm] \IR \backslash \{3\} [/mm]
Nun möchtest Du die Ungl. mit (x-3) multiplizieren, damit der Nenner wegfällt.
Du weißt aber nicht, ob x-3 positiv ist oder negativ: Möglich ist BEIDES.
Daher Fallunterscheidung:
1.Fall: x-3 > 0, also: x > 3 (*)
Dann bleibt beim Multiplizieren mit (x-3) das Ungleichungszeichen erhalten:
[mm] \bruch{1}{x-3} \le [/mm] 2 |*(x-3)
<=> 1 [mm] \le [/mm] 2*(x-3)
1 [mm] \le [/mm] 2x - 6 oder (was dasselbe ist!) 2x-6 [mm] \ge [/mm] 1 |+6
2x [mm] \ge [/mm] 7 |: 2
x [mm] \ge [/mm] 3,5
Du erhältst im 1. Fall also als Lösungsmenge die Zahlen, die
sowohl > 3 sind (siehe (*))
als auch [mm] \ge [/mm] 3,5.
Das ist letztlich das Intervall: [mm] L_{1} [/mm] = [3,5; [mm] +\infty [/mm] [
2.Fall: x-3 < 0 bzw. x < 3 (*)
Diesmal dret sich beim Multiplizieren mit (x-3) das Ungleichungszeichen um:
[mm] \bruch{1}{x-3} \le [/mm] 2 |*(x-3)
<=> 1 [mm] \ge [/mm] 2*(x-3)
...
x [mm] \le [/mm] 3,5
Du erhältst im 2. Fall also als Lösungsmenge die Zahlen, die
sowohl < 3 sind (siehe (*))
als auch [mm] \le [/mm] 3,5.
Das ist letztlich das Intervall: [mm] L_{2} [/mm] = ] [mm] -\infty; [/mm] 3 [
Die Gesamtlösungsmenge ist dann die Vereinigungsmenge der beiden Teil-Lösungsmengen [mm] L_{1} [/mm] und [mm] L_{2}, [/mm] also:
[mm] L_{ges} [/mm] = [mm] L_{1} \cup\ L_{2}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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Hi ich habe mir den Beitrag durchgelesen da ich ich auch etwas zu dem Thema "Ungleichungen" lernen wollte.
a) [mm] \bruch{1}{x-3} [/mm] <= 2
b) [mm] \bruch{-x}{5+x} [/mm] > [mm] \bruch{1}{3-x}
[/mm]
Es wird in der Antwort gesprochen, dass Aufgabe a) einfach zu lösen ist, da es sich um eine lineare Funktion handelt.
Meine Frage dazu:
----------------
Warum ist Aufgabe a) Linear und Aufgabe b) nicht?
Meine vermutete Antwort:
--------------------
Da Aufgabe a) nur eine Varible hat und Aufgabe b) zwei Variabeln.
Vielleicht kann mir jemand diese Antwort bestätigen/kommentieren/korrigieren und evtl. noch etwas ergänzen oder erklären wann eine Funktion linear ist und wann nicht.
Danke
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Hallo KnockDown!
> Hi ich habe mir den Beitrag durchgelesen da ich ich auch
> etwas zu dem Thema "Ungleichungen" lernen wollte.
>
> a) [mm]\bruch{1}{x-3}[/mm] <= 2
> b) [mm]\bruch{-x}{5+x}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3-x}[/mm]
>
> Es wird in der Antwort gesprochen, dass Aufgabe a) einfach
> zu lösen ist, da es sich um eine lineare Funktion handelt.
>
> Meine Frage dazu:
> ----------------
>
> Warum ist Aufgabe a) Linear und Aufgabe b) nicht?
>
So auf Anhieb erkennt kann man schwer zwischen linearer oder nicht linearer (Un-)Gleichung unterscheiden. Das seiht man erst, wenn man die Brüche eleminiert indem man mit den Nennern multipliziert.
Für a) ergibt dies dann:
[mm] \mbox{1\le2(x-3) \gdw 1\le2x-6} \to [/mm] lineare Ungleichung
Für b) ergibt dies somit:
[mm] \mbox{(-x)*(3-x)>1*(5+x) \gdw -3x+x^{2}>5+x} \to [/mm] quadratische Ungleichung
>
>
> Meine vermutete Antwort:
> --------------------
>
> Da Aufgabe a) nur eine Varible hat und Aufgabe b) zwei
> Variabeln.
Die Anzahl der Variablenist dabei nicht entscheidend, sondern eher der höchste Exponent an der Variablen.
Bei dieser Aufgabe hier gilt außerdem: Bei a) und b) gibt es jeweils nur eine Variable, nämlich x.
> Vielleicht kann mir jemand diese Antwort
> bestätigen/kommentieren/korrigieren und evtl. noch etwas
> ergänzen oder erklären wann eine Funktion linear ist und
> wann nicht.
>
>
> Danke
Gruß,
Tommy
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Danke für die Erklärung, ich habe dazu aber noch folgende Frage ob ich das richtig verstanden habe.
1. [mm] x^2+3x^2 [/mm] == linear?
2. [mm] x^2+x^3 [/mm] == nicht linear?
3. [mm] y^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] == linear?
4. [mm] y^2 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] == nicht linear?
5. [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^5 [/mm] == nicht linear?
Danke für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Do 05.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo KnockDown!
Man spricht von "linear", wenn alle Variablen mit der Potenz $1_$ auftreten und auch Produkte der Variablen nicht auftreten, denn bei $x*y \ = \ [mm] x^1*y^1$ [/mm] ist die Summe der Exponenten auch größer als $1_$ ("etwas" vereinfachte Erklärung).
Von daher sind alle Deine genannten Beispiele "nicht linear".
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Do 05.10.2006 | | Autor: | KnockDown |
Achso ok :) Dann hab ichs verstanden!
Danke für deine Hilfe!
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Hi, Knockdown,
> Danke für die Erklärung, ich habe dazu aber noch folgende
> Frage ob ich das richtig verstanden habe.
>
> 1. [mm]x^2+3x^2[/mm] == linear?
Nein! Quadratisch bzw. 2. Grades
> 2. [mm]x^2+x^3[/mm] == nicht linear?
Ja! Der Term ist kubisch bzw. 3. Grades
> 3. [mm]y^2[/mm] + [mm]x^2[/mm] == linear?
Nein! Quadratisch in beiden Variablen.
> 4. [mm]y^2[/mm] + [mm]x^3[/mm] == nicht linear?
Ja! 3. Grades in der Variablen x, 2. Grades in der Variablen y.
> 5. [mm]x^3[/mm] + [mm]x^5[/mm] == nicht linear?
Ja! Das ist ein Term 5. Grades.
mfG!
Zwerglein
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Hi, Knockdown,
> a) [mm]\bruch{1}{x-3}[/mm] <= 2
> b) [mm]\bruch{-x}{5+x}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3-x}[/mm]
>
> Es wird in der Antwort gesprochen, dass Aufgabe a) einfach
> zu lösen ist, da es sich um eine lineare Funktion handelt.
Falsch! Das Thema "lineare Ungleichungen" habe ich nur angeschnitten, weil
- Cutie ganz allgemein nach der Lösung von Ungleichungen gefragt hat und
- weil man aus der Zusatzbemerkung (Multiplikation mit negativen Zahlen!) erkennen kann, warum bei Bruch-Ungleichungen überhaupt FALLUNTERSCHEIDUNGEN nötig sind!
Selbstverständlich handelt es sich bei BEIDEN Aufgaben um BRUCH-Ungleichungen, was ich ja auch im 2. Teil meiner Antwort geschrieben habe. Lies dort noch mal nach; da steht: "2) Bei Bruch-Ungleichungen [mm] (\red{und\ solche\ liegen\ bei\ Dir\ vor}) [/mm] ..."
> Warum ist Aufgabe a) Linear und Aufgabe b) nicht?
Sie sind BEIDE NICHT LINEAR!
mfG!
Zwerglein
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