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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich sitze vor folgender Aufgabe: Zeige das die Ungleichung [mm] \wurzel{a*b} \le \bruch{a+b}{2} [/mm] gilt für a,b [mm] \ge0.
[/mm]
Habe mir überlegt erst mal zu quadrieren und den Bruch aufzulösen, so dass ich habe [mm] 4*|a*b|\le|a+b|^2 \gdw 4*|a*b|\le|a^2+b^2+2*a*b| \gdw 2*|a*b|\le|a^2+b^2| [/mm] (Dreiecksungleichung und dann 2*a*b subtrahiert).
Jetzt komm ich irgendwie nicht mehr weiter. Vielleicht hätte ich auch anders anfangen müssen. Hat jemand einen Tip.
Gruß Marietta
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Hi, Marietta,
> Ich sitze vor folgender Aufgabe: Zeige das die Ungleichung
> [mm]\wurzel{a*b} \le \bruch{a+b}{2}[/mm] gilt für a,b [mm]\ge0.[/mm]
> Habe mir überlegt erst mal zu quadrieren und den Bruch
> aufzulösen, so dass ich habe 4*|a*b| [mm] \le |a+b|^2 [/mm]
Wozu sollen denn die Betragstriche gut sein?!
Da a, b [mm] \ge [/mm] 0 ist, kannst Du doch schreiben:
4ab [mm] \le (a+b)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 4*|a*b|\le|a^2+b^2+2*a*b| [/mm]
[mm] \gdw 2*|a*b|\le|a^2+b^2|[/mm] [/mm]
> (Dreiecksungleichung und dann 2*a*b subtrahiert).
> Jetzt komm ich irgendwie nicht mehr weiter.
Die Komplikationen werden nur durch die überflüssigen Betragstriche hervorgerufen. Ohne gibt's die nicht:
4ab [mm] \le a^{2}+2ab+b^{2} [/mm] |-4ab
0 [mm] \le a^{2}-2ab+b^{2}
[/mm]
0 [mm] \le (a-b)^{2}
[/mm]
was eine Trivialität ist!
mfG!
Zwerglein
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