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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:35 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Wir identifizieren die natürliche Zahl 0 mit der leeren Menge [mm] \emptyset, [/mm] 1 mit S(0), 2 mit S(1)=S(S(0)) etc. (S(x) := x [mm] \cup \{x\} [/mm] )
Das Unendlichkeitsaxiom besat: es gibt ein x dass die leere Menge enthält und das unter S abgeschlossen ist. Zeigen Sie : Es gibt es kleinstes solches x |
Hallo
"Kandidat" für kleinstes solches:
N:= [mm] \bigcap \{ y: y \subset x \cap y induktiv \}
[/mm]
x.. Menge die nach Unendlichkeitsaxiom existiert
( Ich dachte mir nämlich : [mm] \{y | y ist induktiv\} [/mm] wäre keine Menge und ich eben von einer vorhandenen Menge ausgehen muss.)
Menge t induktiv:
[mm] -)\emptyset \in [/mm] t
[mm] -)\forall [/mm] z [mm] \in [/mm] t: S(z)= z [mm] \cup \{z\} \in [/mm] t
Dass N induktiv ist hab ich in zwei Zeilen gezeigt. Ist kein Problem.
Aber aufgrund der Konstruktion ist N Teilmenge von jeder induktiven Menge, die eine Teilmenge von x ist.
Aber im Beweis möchte ich: [mm] \forall [/mm] induktiven Mengen M : M [mm] \supseteq [/mm] N
x ist irgendeine induktive Menge,mehr weißt ich nicht.
Wieso ist die Konstruktion also von der Wahl von x unabhängig?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:29 Mi 15.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu-,
> "Kandidat" für kleinstes solches:
> N:= [mm]\bigcap \{ y: y \subset x \cap y induktiv \}[/mm]
> x..
> Menge die nach Unendlichkeitsaxiom existiert
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ( Ich dachte mir nämlich : [mm]\{y | y ist induktiv\}[/mm] wäre
> keine Menge
Richtig.
> und ich eben von einer vorhandenen Menge
> ausgehen muss.)
Du könntest auch
[mm] $\{z\;|\;\forall y\colon y\text{ induktiv}\Rightarrow z\in y\}=\{z\in x\;|\;\forall y\colon y\text{ induktiv}\Rightarrow z\in y\}$
[/mm]
betrachten.
> Menge t induktiv:
> [mm]-)\emptyset \in[/mm] t
> [mm]-)\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] t: S(z)= z [mm]\cup \{z\} \in[/mm] t
>
> Dass N induktiv ist hab ich in zwei Zeilen gezeigt. Ist
> kein Problem.
>
> Aber aufgrund der Konstruktion ist N Teilmenge von jeder
> induktiven Menge, die eine Teilmenge von x ist.
> Aber im Beweis möchte ich: [mm]\forall[/mm] induktiven Mengen M :
> M [mm]\supseteq[/mm] N
> x ist irgendeine induktive Menge,mehr weißt ich nicht.
> Wieso ist die Konstruktion also von der Wahl von x
> unabhängig?
Sei $M$ induktiv. Dann ist auch [mm] $M\cap [/mm] x$ induktiv. Also [mm] $N\subseteq M\cap x\subseteq [/mm] M$.
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Achte mal darauf, ob euch die kleinste induktive Menge als Menge verkauft wird, die genau die aus der Grundschule bekannten natürlichen Zahlen enthält. Dass sie alle natürlichen Zahlen enthält, ist klar. Dass sie nicht mehr enthält, jedoch nicht. Siehe auch diesen Beitrag von mir.
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