Unendlich oft differenzierbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Di 04.07.2006 | | Autor: | FrankM |
| Aufgabe | | Sei U [mm] \subset \IR^n [/mm] offen und K [mm] \subset [/mm] U kompakt. Zeigen Sie es existiert eine Funktion f in [mm] C^{\infinty} [/mm] (also unendlich oft stetig differenzierbar) mit [mm] 0\le [/mm] f [mm] \le, [/mm] f=1 auf K und f=0 auf [mm] \IR^n \backslash [/mm] U. |
Hallo,
so recht weis ich nicht, wie an obige Aufgabe lösen soll, was kein Problem ist, eine Funktion zu konstruieren, die stetig ist und auf K gleich 1 ist und ausserhalb von U verschwindet. Da K kompakt ist, und [mm] \IR^n \backslash [/mm] U abgeschlossen ist ist ja "Platz" zwischen K und [mm] \IR^n \backslash [/mm] U , kann man die 1 und die 0 einfach mit einer geraden verbinden, aber wie bekommt man die Differenzierbarkeit?
Gruß
Frank
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Hallo Frank,
versuche es doch statt mit einer linearen funktion mit einer exponential-funktion. sei zum beispiel $d>0$ der minimale abstand der Menge K von [mm] $\IR^n\backslash\; [/mm] U$. du kannst zB. so etwas konstruieren
[mm] $f(x)=c\cdot e^{-\frac {1}{d-dist(x,K)}}$ [/mm] für $dist(x,K)<d$, $=0$ sonst, c eine geeignete konstante.
man müsste allerdings noch argumentieren, dass die distanz-funktion die geforderte glätte hat.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mi 05.07.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo Matthias,
vielen Dank für deine Antwort. Habe heute in einem Buch über Distributionen den gewichteten Mittelwert von Funktionen gefunden. Damit kann man aus einer stetigen Funktion eine unendlich oft differenzierbar machen, in dem die Funktionswert so etwas wie der Mittelwert der Umgebung sind, damit konnt ich die Aufgabe lösen. Ich denke, dass es sogar ganz ähnlich zu deinem Vorschlag ist, da die Gewichtsfunktion beim Mittelwert bilden die Form [mm] e^{-\bruch{1}{1-\|x\|}} [/mm] hat.
Nochmal vielen Dank für deinen Hinweis
Frank
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